Первое начало термодинамики для идеальных газов

 

2.428. Смешали воду массой m ₁ = 3 кг при температуре T ₁ = 290 К с водой массой m ₂ = 5 кг при температуре T ₂ = 340 К. Найти: 1) температуру θ смеси; 2) изменение Δ S энтропии, происходящее при смешивании.

2.429. Кусок льда массой m ₁ = 1 кг при температуре t ₁ = –10 °С был превращен в воду при t ₂ = 0 °C с помощью пара, имеющего температуру t ₃ = 100 °С. Определить массу m ₂ израсходованного пара. Каково изменение Δ S энтропии системы лед – пар?

2.430. Кусок льда массой m = 250 г, взятый при температуре t = –20 °С, был нагрет до температуры t ₂ = 0 °С и расплавлен, затем образовавшаяся вода была нагрета до температуры t ₃ = 10 °С. Определить изменение Δ S энтропии в ходе указанных процессов.

2.431. Лед массой 400 г, находящийся при температуре t ₁ = –15 °С нагрели, расплавили и превратили в пар при температуре t ₂ = 100 °С. Найти изменение Δ S энтропии.

2.432. Лед массой m = 50 г, взятый при температуре Т ₁ = 263 К, был превращен в пар при температуре Т ₂ = 373 К. Найти изменение ΔS энтропии.

2.433. Вода массой m = 200 г при температуре Т ₁ = 273 К была нагрета и превращена в пар при температуре Т ₂ = 373 К. Найти изменение Δ S энтропии.

2.434. Найти общее изменение Δ S энтропии при погружении 20 г железа, нагретого до 250 °С в воду массой 1 кг при температуре 20 °С. Температуру воды считать постоянной, удельная теплоемкость железа с = 470 Дж/(кг∙К).

2.435. Расплавленный свинец, взятый в количестве 200 г при температуре плавления, вылили на лед (t = 0 °С). Найти изменение Δ S энтропии при этом процессе.

2.436. Водяной пар при температуре 100 °С был направлен на кусок льда массой 2 кг при 0 °С. После того как лед растаял, полученная изо льда вода была нагрета паром до температуры 60 °С. Найти массу израсходованного пара и изменение энтропии при описанных процессах.

2.437. Смешали m ₁ = 6 кг воды при температуре Т ₁ = 290 К с m ₂ = 10 кг воды при температуре Т ₂ = 360 К. Найти: 1) температуру смеси; 2) изменение Δ S энтропии, происходящее при смешивании. Удельная теплоемкость воды с _уд = 4200 Дж/(кг∙К).

2.438. Кусок льда массой m = 200 г, взятый при температуре t ₁ = –10 °С, был нагрет до t ₂ = 0 °С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры t ₃ = 10 °С. Определить изменение Δ S энтропии льда. Удельная теплоемкость льда с _л = 2100 Дж/(кг∙К), воды с _в = 4200 Дж/(кг∙К), удельная теплота плавления льда λ = 0,335 МДж/кг.

2.439. В результате изохорного нагревания кислорода массой 5 г давление газа увеличилось в 3 раза. Определить изменение Δ S энтропии газа.

2.440. Водород и кислород, имеющие равные массы, одинаково изотермически сжимают. Для какого газа приращение энтропии будет больше и во сколько раз?

2.441. Определить приращение энтропии углекислого газа массой 1,5 кг в процессе сжатия от давления 0,15 МПа при температуре 17 °С до давления 5 МПа при температуре 227 °С.

2.442. При изотермическом сжатии кислорода массой 2 кг давление было увеличено от 50 кПа до 5 МПа. Найти изменение энтропии газа.

2.443. Водород массой m = 2 кг увеличил свой объем один раз – изотермически, другой – адиабатически. Найти изменение энтропии в этих двух случаях, если V ₂/ V ₁ = 5?

2.444. Аргон в количестве 2 моль, изобарно расширяясь, увеличил свой объем в 3 раза. Найти приращение энтропии при этом расширении.

2.445. Азот массой 2 кг находится при нормальных условиях. При изохорном нагревании давление газа P увеличилось в два раза. Определить изменение энтропии и переданное ему количество теплоты.

2.446. Найти изменение энтропии Δ S и количество теплоты Q, переданное кислороду массой 50 г, находящемуся при н.у., если в результате изобарного расширения его объем изменяется от 50 л до 80 л.

2.447. Найти изменение Δ S энтропии при изобарном расширении водорода массой m = 2 г от объема V ₁ = 3 л до объема V ₂ = 5 л.

2.448. Водород массой m = 4 кг увеличил свой объем в 5 раз один раз изотермически, второй – адиабатно. Найти изменение Δ S энтропии в каждом из указанных процессов.

2.449. Азот массой m = 14 г был изобарно нагрет так, что объем увеличился в 4 раза, затем газ был изохорно охлажден так, что давление уменьшилось в 4 раза. Найти изменение Δ S энтропии в ходе указанных процессов.

2.450. До какой температуры нужно довести водород массой 3 кг, находящийся при температуре 227 °С, не меняя его объема, чтобы уменьшить его энтропию на 1,21 кДж/К?

2.451. При нагревании гелия массой 8 г его абсолютная температура увеличилась в 4 раза. Определить приращение энтропии при 1) изохорном и 2) изобарном нагревании.

2.452. Найти изменение Δ S энтропии при плавлении льда массой 1,5 кг, взятого при температуре Т = 273 К.

2.453. Найти изменение Δ S энтропии при переходе 32 г кислорода от объема V ₁ = 20 л при температуре t ₂ = 100 °С к объему V ₂ = 0,06 м³ при температуре 327 К.

2.454. Кислород массой 64 г расширяется изобарно от объема V ₁ до объема V ₂ = 2 V ₁. Найти изменение Δ S энтропии при этом процессе.

2.455. При изотермическом сжатии воздуха объемом V = 750 дм³, находящегося при температуре 27 °С и начальном давлении 0,1 МПа, его энтропия уменьшилась на Δ S = 630 Дж/К. Определить объем воздуха в конце процесса.

2.456. Найти изменение Δ S энтропии при изотермическом расширении азота массой 28 г от давления P ₁ = 200 кПа до давления P ₂ = 50 кПа.

2.457. Кислород массой 100 г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в n раз, затем изохорно охлажден так, что его давление уменьшилось в n раз. Найти изменение энтропии, если n = 5.

2.458. Водород массой 20 г расширяется изотермически от объема V ₁ = 3 л до объема V ₂ = 12 л. Найти изменение Δ S энтропии при этом процессе.

2.459. Гелий массой 40 г нагревается от температуры t ₁ = 20 °С до температуры t ₂ = 120 °С. Найти изменение Δ S энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

2.460. Определить приращение энтропии при смешении углекислого газа массой 3,5 кг и азота массой 5 кг. Температуры и давления газов до смешения одинаковы.

2.461. При нагревании двухатомного газа в количестве ν = 5 кмоль его термодинамическая температура возрастает от Т ₁ до Т ₂ = 3 Т ₁. Найти изменение Δ S энтропии, если нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

2.462. При нагревании кислорода 24 г кислорода его термодинамическая температура увеличилась от Т ₁ до Т ₂ = 1,2 Т ₁, а энтропия увеличилась на Δ S = 4,19 Дж/К. При каких условиях происходило нагревание кислорода (при постоянном объеме или при постоянном давлении)?

2.463. Водород объемом V ₁ = 2 м³, находящийся при температуре 17 °С и давлении 100 кПа, изотермически расширяется от объема V ₁ до объема V ₂ = 2 V ₁. Найти изменение Δ S энтропии при этом процессе.

2.464. Найти изменение энтропии 10 кг воздуха, если его давление увеличилось от 2,5∙10⁵ Па до 10⁶ Па, а температура понизилась от 300 °С до 100 °С.

2.465. Изменение энтропии на участке между двумя адиабатами в цикле Карно Δ S = 4,19 кДж/К. Разность температур между двумя изотермами Δ Т = 200 К. Какое количество теплоты Q превращается в работу в этом цикле?

2.466. Азот массой 2 кг при давлении 0,6 МПа и температуре 127 °С, изобарно расширяясь, увеличивает свой объем в 4 раза, а затем сжимается изотермически до давления 5 МПа. Определить суммарное приращение энтропии.

2.467. Кислород массой m = 100 г находится в сосуде объемом V ₁ = 0,5 м³ под давлением P = 1·10⁵ Па, затем он расширяется до объема V ₂ = 1,5 м³, при этом его давление падает в 2,7 раза. Найти приращение Δ S энтропии и его внутренней энергии Δ U.

2.468. Воздух массой 2 кг сжимают адиабатно так, что его объем уменьшается в 8 раз, а затем при постоянном объеме давление возрастает в 2,5 раза. Определить приращение Δ S энтропии.

2.469. Один моль азота при давлении 1 атм и температуре 300 К адиабатически сжимается до давления 2 атм. Каковы его конечные объем и температура? Чему равно изменение энтропии?

2.470. С помощью идеального холодильника Карно нужно понизить температуру 2 молей газообразного гелия с 300 К до 100 К. Какое количество работы в джоулях необходимо совершить для этого, если считать теплоемкость гелия постоянной и равной 5 R /2? На сколько при этом понизится энтропия гелия?

2.471. Резиновый шнур, жесткостью k = 3·10³ Н/м, под действием груза удлинился на Δ l = 25 см. Считая процесс растяжения шнура изотермическим и происходящем при температуре t = 27 °С, определить изменение Δ S энтропии.

РАЗДЕЛ 3

РЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ, ЖИДКОСТИ

 

Основные законы и формулы

 

Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа:

 

.

 

Уравнение Ван-дер-Ваальса для произвольного количества вещества ν газа

 

 

где а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа);  – объем, занимаемый газом;  – молярный объем;  – давление газа на стенки сосуда.

Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса:

 

 

Поверхностное натяжение:

 

,

 

где  – сила поверхностного натяжения, действующая на контур , ограничивающий поверхность жидкости, или

 

,

 

где  – изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади  поверхности этой пленки.

Формула Лапласа (общий случай):

 

,

 

где  – давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости;  – коэффициент поверхностного натяжения;  и  – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости.

Формула Лапласа для сферической поверхности:

 

,

 

где  – радиус сферической поверхности.

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке:

 

,

 

где  – радиус канала трубки;  – плотность жидкости;  – ускорение свободного падения;  – краевой угол;  при полном смачивании;  при полном не смачивании.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями:

 

,

 

где  – расстояние между плоскостями.

Расход жидкости в трубке тока:

а) объемный расход

б) массовый расход

где  – площадь поперечного сечения трубки тока; υ – скорость жидкости;  – плотность.

Уравнение неразрывности струи:

 

 

где  и  – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;  и  – соответствующие скорости течений.

Основное уравнение динамики идеальной жидкости (уравнение Эйлера):

 

 

где  – плотность жидкости,  – объемная плотность массовых сил (в случае силы тяжести ),  – градиент давления.

Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае:

 

 

где и  – статическое давление жидкости в двух сечениях трубки тока;  и  – скорости жидкости в этих сечениях;  и  – высоты их над некоторым уровнем.

Уравнение Бернулли для случая, когда оба сечения находятся на одной высоте :

 

 

Скорость течения жидкости из малого отверстия в широком сосуде:

 

 

где  – глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающий за время  через длинную круглую трубку при ламинарном течении:

 

 

где  – радиус трубки;  – ее длина;  – разность давлений на концах трубки;  – динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения).

Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках:

 

 

где  – средняя по сечению скорость течения жидкости шарика,  – диаметр трубки,  – плотность жидкости.

Число Рейнольдса для движения шарика в жидкости:

 

 

где  – плотность жидкости,  – скорость шарика,  – его диаметр,  – динамическая вязкость жидкости.

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения Re _кр, движение жидкости является ламинарным.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости ; для потока жидкости в длинных трубках .

Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в нем шарик:

 

 

где  – радиус шарика,  – его скорость. Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса много меньше единицы .

Относительная влажность воздуха () – отношение давления (плотности) пара, содержащегося в воздухе, к давлению (плотности) насыщенного пара при той же температуре, выраженное в процентах:

 

 или ,

 

где  – парциальное давление пара (упругость);  – абсолютная влажность пара (плотность).

 

 

Примеры решения задач

 

Пример 1. Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

 

Дано: Мыльный пузырь	Решение: Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря.

Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление:

 

,

 

где  – радиус пузыря. Так как , то .

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на  выражается формулой

 

 

или

 

.

 

В данном случае  – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря.  – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивавшей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая , получаем:

 

.

 

Произведем вычисления:

 

 

Ответ: .

 

Задачи

 

2.472. В сосуде вместимостью 5 л находится кислород массой 0,12 кг. Определить: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем молекул.

2.473. Определить давление, которое будет производить один моль азота, занимающего объем 0,5 л при температуре 300 К. Сравнить полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению Менделеева–Клапейрона.

2.474. В сосуде вместимостью 0,25 л находится один моль углекислого газа при температуре 300 К. Определить давление газа: 1) по уравнению Менделеева–Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

2.475. Аргон в количестве вещества 1 моль находится при температуре 300 К. Определить относительную погрешность Δ P / P, которая будет допущена при вычислении давления, если вместо уравнения Ван-дер-Ваальса воспользоваться уравнением Менделеева–Клапейрона. Произвести вычисления для двух объемов 1) 3 л; 2) 0,3 л.

2.476. Внутреннюю полость стального толстостенного баллона наполовину заполнили водой при комнатной температуре. Затем баллон герметически закупорили и нагрели до температуры 550 К. Определить давление p водяного пара в баллоне при этой температуре.

2.477. Давление водорода равно 4 МПа, его плотность 80 кг/м³. Найти температуру водорода.

2.478. Определить давление водяного пара массой 2 кг при температуре 420 К и объеме: 1) 2000 л; 2) 20 л; 3) 2 л.

2.479. В сосуде емкостью 20 л находится 800 г водяного пара при температуре 450 К. Вычислить давление на стенки сосуда. Какую часть объема составляет собственный объем молекул пара? Какую часть давления составляет внутреннее давление?

2.480. Какую температуру имеет кислород массой 7 г, занимающий объем 820 см³ при давлении 0,3 МПа? Газ рассматривать как: а) идеальный; б) реальный.

2.481. Газ в количестве 0,5 моль при расширении от 1,2 м³ до 1,8 м³ совершает работу против сил молекулярного притяжения, равную 50,6 Дж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

2.482. В сосуде объемом V = 3 л находится 6 моль кислорода. Определить: 1) внутреннее давление газа; 2) собственный объем молекул. Принять поправки a = 0,136 Н∙м⁴/моль² и b = 3,17·10^–5 м³/моль.

2.483. Углекислый газ массой 5 кг занимает объем 3 м³ при давлении 0,1 МПа. Найти температуру газа, если газ: 1) реальный; 2) идеальный. Поправки а = 0,361 Н·м⁴/моль² и b = 4,28·10^–5 м³/моль.

2.484. Азот плотностью 150 кг/м³ находится под давлением 10 МПа. Определить температуру газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.

2.485. Кислород массой 200 г изотермически расширяется от объема V ₁ = 3 л до V ₂ = 6 л. Определить работу межмолекулярных сил притяжения при этом расширении. Принять поправку a = 0,136 Н·м⁴/моль².

2.486. Азот в количестве 5 моль расширяется в вакуум, в результате чего его объем увеличивается от V ₁ = 2 л до V ₂ = 10 л. Какое количество теплоты Q надо сообщить газу, чтобы его температура осталась неизменной? Принять поправку а = 0,135 Н·м⁴/моль².

2.487. Углекислый газ массой 100 г занимает объем 1 л при температуре 300 К. Определить внутреннюю энергию газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ реальный. Поправку а принять равной 0,361 Н·м⁴/моль².

2.488. Кислород в количестве 3 моль занимает объем 5 л. Определить, на сколько изменится его температура в результате адиабатного расширения в вакууме до объема 25 л. Поправку а принять равной 0,136 Н·м⁴/моль².

2.489. Азот в количестве 5 моль адиабатно расширяется в вакуум. Температура газа при этом уменьшается на 10 К. Определить работу, совершаемую газом против межмолекулярных сил притяжения.

2.490. Углекислый газ массой 500 г увеличился в объеме от 1 м³ до 10 м³. Найти работу, совершаемую газом при расширении против межмолекулярных сил притяжения.

2.491. Аргон массой 50 г занимает объем 1 л под давлением 2 МПа. Найти температуру газа, если: 1) газ идеальный; 2) газ реальный.

2.492. Найти давление углекислого газа при температуре 280 К, если его плотность при этой температуре 600 кг/м³.

2.493. Вычислить внутреннее давление воды, если известна постоянная а в уравнении Ван-дер-Ваальса.

2.494. Найти диаметр молекулы аргона по известной постоянной b в уравнении Ван-дер-Ваальса.

 

2.495. Азот массой 1 кг находится в баллоне вместимостью 25 л при температуре 273 К. Определить давление газа на стенки баллона, внутреннее давление газа и собственный объем молекул.

2.496. Объем кислорода массой 10 г увеличивается от 1 до 8 л. Рассматривая газ как реальный, найти работу внутренних сил при этом расширении.

2.497. Некоторый газ в количестве 0,5 моль занимает объем 1 м³. При расширении газа до объема 1,5 м³ была совершена работа против сил межмолекулярного притяжения, равная 11,35 кДж. Определить поправку а, входящую в уравнение Ван-дер-Ваальса.

2.498. Водород в количестве 4 моль расширяется в вакуум, в результате чего объем газа увеличивается с 1 л до 3 л. Какое количество теплоты Q необходимо для этого сообщить газу, чтобы его температура осталась неизменной? Поправку а принять равной 0,135 Н·м⁴/моль².

2.499. Азот массой 56 г занимает при температуре 300 К объем 1,5 л. Определить внутреннюю энергию газа, если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.

2.500. Аргон в количестве 2,5 моль занимает объем 0,5 л. Определить изменение температуры аргона, если он адиабатически расширяется в вакууме до объема 5 л.

2.501. Кислород в количестве 1 моль адиабатически расширяется в вакуум. Температура газа при этом уменьшается на 1 К. Определить работу, совершаемую газом против межмолекулярных сил притяжения.

2.502. Азот в количестве ν = 2 моль, занимающий объем V ₁ = 1,5 л при температуре 500 К, расширяется изотермически до объема V ₂ = 3 V ₁. Считая газ реальным, определить: 1) работу при расширении; 2) изменение внутренней энергии газа.

2.503. Водород массой 5 кг адиабатно расширяется в вакуум от V ₁ = 1,2 л до V ₂ = 2,4 л, считая газ реальным, определить понижение температуры при этом расширении.