Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2022-02-11 | 40 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача [Эрмит]. Построить полином , имеющий заданные значения своих производных в узлах интерполяции :
При узел называется простым узлом интерполяции, при узел называется кратным узлом.
Для случая вещественной интерполяционной таблицы () задаче можно придать следующую геометрическую интерпретацию: требуется провести алгебраическую кривую через заданные точки так, чтобы в каждой точке обеспечить заданные наклоны касательных (а также, возможно, кривизны и т.п.).
§
Интерполяционный полином Эрмита используется в задаче разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби. Сам Эрмит применял его для оценки величины определенного интеграла по значениям функции и ее производных на концах интервала. Еще одно приложение — в задаче вычисления функции от матрицы.
Интерполяционная таблица дает условий на коэффициенты неизвестного полинома. По аналогии со стандартной задачей интерполяции, можно ожидать, что искомый полином будет существовать среди полиномов степени . Будем искать этот полином методом неопределенных коэффициентов. Обозначим
Пусть — произвольный полином степени . Разложим дробь на сумму простейших над множеством :
Определим числители дробей с помощью интерполяционных данных. Домножим обе части тождества на , получим:
здесь через обозначена дробно-рациональная функция по , знаменатель которой не обращается в нуль при . Подставим это значение в обе части последнего равенства:
Теперь продифференцируем последнее тождество по , подставим и воспользуемся данными интерполяционной таблицы:
Снова продифференцируем по и т.д. В результате получаем:
Аналогично поступаем и с другими узлами интерполяции. В результате, получаем решение задачи в виде интерполяционного полинома Эрмита:
|
В литературе имеется неоднозначность терминологии — этот же полином называется и интерполяционным полиномом Лагранжа-Сильвестра, и интерполяционным полиномом Серре.
Теорема. Подмножество всевозможных полиномов из , принимающих значения по таблице, можно представить в виде
здесь — интерполяционный полином Эрмита.
Интерполяционный полином Эрмита является естественным обобщением обычного интерполяционного полинома в форме Лагранжа () и формулы Тейлора ().
Можно указать и явное представление для этого полинома — с использованием формализма определителей. На основании правила дифференцирования дробно-рациональной функции, получаем:
Здесь — биномиальный коэффициент. Еще один подход к построению полинома см. ☞ [8].
П
Пример. Построить интерполяционный полином по таблице
Решение. Здесь
Для имеем и в формуле Эрмита этому узлу соответствует одно слагаемое:
Для имеем и этому узлу соответствует полином
значения которого — вместе с первой и второй производной — в точке должны совпадать с табличными:
Для имеем :
и для определения четырех коэффициентов этого полинома мы имеем четыре условия из таблицы:
Этот же результат можно получить и в виде альтернативного — детерминантного — представления:
и
Наконец, для имеем :
Ответ. .
Построить уравнение «горки»: найти полином из условий .
Следующий результат не очень связан с содержанием настоящего пункта, но надо было куда-то поместить.
Теорема [1]. При заданных существуют а) полином
(т.е. ) и б) числа такие, что
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!