Нечеткая и лингвистическая переменные.

Эти переменные нужны для описания объектов предметной области с помощью нечетких множеств. Нечеткая переменная характеризуется тройкой <a,X,A>, где a - имя переменной нечеткой, X - универсальное множество (область определения a), A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a. Лингвистической переменной называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка. Лингвистической переменной называется набор <b,T,X,G,M>, где b - имя лингвистической переменной; Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является универс-е множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной; G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TυG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество.

Пример: эксперт определяет толщину изделия с помощью понятий: "маленькая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом мин-я толщина равняется 10 мм, а макс-я - 80 мм.Лингвистическая переменная <b, T, X, G, M>, где b - толщина изделия; T - {"маленькая", "средняя", "большая"}; X – универс-е множ-во [10, 80]; G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. М - процедура задания на универс-м множ-ве X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также новых термов из G(T) с использ-ем связок.

"маленькая толщина" = А1, "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3.

Нечеткое множество "маленькая или средняя толщина".

Терм–множеством называется множество всех возможных значений лингвистической переменной. Термом (term) называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности. Дефаззификацией называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.

Нечеткие отношения.

Пусть Е = Е₁хЕ₂х...хЕ_n - прямое произведение n универсальных множеств и М - некоторое множество принадлежностей (М = [0,1]). Нечетким n-арным отношеним наз-ют нечеткое подмножество R, заданное на E, принимающее свои значения на М.

В случае n=2 (отношение бинарное) и М = [0,1], нечетким отношением R между множествами X = Е₁ и Y = Е₂ будет называться функция R: (Х,Y)->[0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y) э Х*Y величину µ_R(х,y) э [0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на X*Y запишется в виде: xэX, yэY: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X*X->[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна: S(R) ={(x,y): µ_R (x,y)>0}. Пусть R₁ и R₂ - два нечетких отношения такие, что:для любого (x,y) э X * Y: µ_R1 (x,y)≤ µ_R2 (x,y),

тогда говорят, что R₂ содержит R₁ или R₁ содержится в R₂.

Объединение двух отношений обозначается R₁υR₂ и определяется выражением:

µ_{R1 υ R2} (x,y) = µ_R1 (x,y) V µ_R2 (x,y).

Пересечение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ ∩ R₂ и определяется выражением:

µ_{R1 ∩ R2} (x,y) = µ_R1 (x,y) ∩ µ_R2 (x,y).

Алгебраическое произведение двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁×R₂ и определяется выражением:

µ_R1×R2 (x,y) = µ_R1 (x,y)× µ_R2 (x,y).

Алгебраическая сумма двух отношений R₁ и R₂ обозначается R₁ R₂ и определяется выражением: .
Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R₁∩(R₂υR₃) = (R₁∩R₂)υ(R₁∩R₃),
R₁υ(R₂∩R₃) = (R₁υR₂)∩(R₁υR₃),
R₁×(R₂υR₃) = (R₁×R₂)υ(R₁×R₃),
R₁×(R₂∩R₃) = (R₁×R₂)∩(R_1×R₃),
R₁ (R₂υR₃) = (R₁ R₂)υ(R₁ R₃),
R₁ (R₂∩R₃) = (R₁ R₂)∩ (R₁ R₃).

Дополнение отношения R обозначается  и определяется функцией принадлежности:

(x,y) = 1 - µ_R (x,y)