Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2022-02-10 | 102 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , , и не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как и , б) , так как , в) , так как , но .
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
П3. Сложение и вычитание векторов.
Правило треугольника. Чтобы найти сумму двух векторов и нужно от произвольной точки отложить вектор , а затем от точки отложить вектор , тогда вектор (рис. 4).
Это правило можно сформулировать короче: для любых трёх точек , , имеет место равенство. .
Аналогично вводится правило суммы нескольких векторов.
|
Свойства суммы векторов. Для любых векторов справедливы равенства:
1) (коммутативность сложения, переместительный закон),
2) (ассоциативность сложения, сочетательный закон).
Опр. Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Очевидно, вектор является противоположным вектору , то есть .
Опр. Разностью векторов и называется вектор, равный сумме вектора и вектора , противоположного вектору , то есть .
Например, .
Метод координат в пространстве.
П2. Координаты вектора.
Зададим в пространстве прямоугольную декартову систему координат . На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор (вектор длины один): , , . Данные вектора называются координатными векторами. Очевидно, что координатные вектора не компланарны. Значит, по теореме §1, любой вектора можно разложить по данным трём векторам, то есть представить в виде , причем коэффициенты разложения , , определяются единственны образом и называются координатами вектора в данной системе координат. Пишут .
Например, в прямоугольном параллелепипеде (рис. 4), у которого , , выполняется , , , , , , , .
Свойства операций над векторами. Пусть , – произвольные вектора, , – произвольные точки, - середина отрезка , – произвольное число, тогда:
1) вектора и равны тогда и только тогда, когда , , ;
2) каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов: ;
3) каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов: ;
4) каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число: ;
5) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала: ;
6) каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов ;
7) длина вектора может быть вычислена по формуле ; следовательно, длина вектора .
|
Понятие вектора в пространстве.
П1. Основные понятия.
Опр. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом, называется вектором. Пишут (рис. 1).
Зам. Направление вектора на рисунках изображается стрелкой.
Зам. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор, начало и конец которого совпадают.
Опр. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Нулевой вектор направления не имеет. Пишут (рис. 1).
Зам. Векторы могут обозначаться одной маленькой буквой (рис. 2).
Опр. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка . Пишут . Длина нулевого вектора равна нулю .
Опр. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Пишут .
Опр. Два коллинеарных вектора называются сонаправленными , если их направления совпадают и противоположно направленными , если их направления не совпадают. Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.
Например, В параллелепипеде, изображенном на рисунке 3: , , , , , и не коллинеарны.
П2. Равенство векторов.
Опр. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Например, на рис. 3: а) , так как и , б) , так как , в) , так как , но .
Утв1. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!