История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-05-20 | 321 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Этот метод рекомендуют применять при решении линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Суть метода покажем на примере уравнения второго порядка
с начальными условиями . Предположим, что каждый из коэффициентов уравнения можно разложить в ряд по степеням x:
, , .
Решение данного уравнения будем искать в виде ряда
, (9.3)
где - коэффициенты, подлежащие определению.
Дифференцируем обе части равенства (9.3) два раза по x:
, .
Подставляя полученные ряды для в уравнение , получим:
. (9.4)
Произведя умножение рядов и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и в правой частях тождества (9.4), получим систему
(9.5)
где означает линейную функцию аргументов .
Каждое уравнение системы (9.5) содержит на одно неизвестное больше по сравнению с предыдущим уравнением. Коэффициенты определяются из начальных условий, а все остальные последовательно определяются из системы (9.5). Доказано, что если ряды , , сходятся при , то полученный степенной ряд сходится в той же области и является решением уравнения
.
Пример 9.4 Найти решение уравнения с начальными условиями в виде степенного ряда. Ограничиться 6 членами ряда.
Разложим коэффициенты уравнения в соответствующие степенные ряды.
p (x)=- x q (x)=-1
Будем искать решение уравнения в виде ряда
y=c0+c1x+c2x2+ c3x3+ c4x4+…+cnxn +… тогда
y'=c1+2c2x+3c3x2+4c4x3+…+n cnxn-1 +…
-y'x=-c1x-2c2x2-3c3x3-4c4x4-…- n cnxn +…
y''=2c2+6c3x+12c4x2+20c5x3+…+n(n-1) cnxn- 2+…
Подставив полученные ряды в уравнение примера, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему для определения ci.
c 0=0, c 1=1 возьмем из начальных условий.
x0 c0 + 2 c2 = 0,
x1 6 c3 = 0,
x2 – c2 + 12 c4 = ,
|
x3 – 2 c3 + 20 c5 = 0,
x 4 – 3 c4 + 30 c6 = ,
x 5 – 4 c5 + 42 c7 = 0,
x 6 – 5 c6 + 56 c8 = .
Решая последовательно систему, получим, что нечетные коэффициенты нули, а
Приближенное решение задачи получаем в виде
Численные методы
Метод Эйлера
Рассмотрим дифференциальное уравнение
(9.6)
с начальным условием . Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек .
В методе Эйлера приближенные значения вычисляются по формулам . При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломанной, имеет направление той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку .
Если правая часть уравнения в некотором замкнутом прямоугольнике удовлетворяет условиям
,
,
то имеет место следующая оценка погрешности:
,
где - значение точного решения уравнения при , а - приближенное значение, полученное на n-м шаге в этой же точке.
На практике, для оценки точности полученных результатов, применяют двойной пересчет: расчет повторяют с шагом и погрешность более точного значения в точке оценивают приближенно так:
Пример 9.5. Используя метод Эйлера, составить таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения с начальным условием y(0)=2 на отрезке [0;0.5] с шагом h с точностью до трёх знаков. Выполним это задание в Mathcad
Для этого разделим промежуток [ a,b ] на n частей и найдем шаг интегрирования h. |
Разделим промежуток интегрирования на 2n частей и
пересчитаем значения yi с новым шагом h/2
Решением уравнения является таблица значений уi, найденных в точках отрезка [0;0.5] с шагом h=0,01 с точностью до трёх знаков.
Рис 9.1 Решение примера 9.5 в Mathcad методом Эйлера
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!