Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2024-01-17 | 77 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задание 1. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример. .
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
Пример. .
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Следовательно, используя формулы 7 и 8 таблицы интегралов, получим:
Пример. .
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки, и воспользуемся формулами 2 и 4 таблицы интегралов:
.
Задание 2. Интегралы с квадратным трехчленом.
Интегралы с квадратным трехчленом - это интегралы вида: , , .
Для вычисления этих интегралов необходимо выделить в квадратных трехчленах знаменателей полный квадрат. В первых двух случаях квадратный трехчлен перепишется в виде: , в третьем случае он будет иметь вид: . В результате интегралы сводятся к табличным интегралам.
Замечание. Если коэффициент при в квадратных трехчленах не равен 1, то его предварительно нужно вынести за знак интеграла.
Пример. .
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся формулой 10 таблицы интегралов:
Пример. .
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 14 таблицы интегралов:
.
Пример . .
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 12 таблицы интегралов:
.
Задание 3. Замена переменной.
Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией .
Сделаем замену переменных, положив , где функция удовлетворяет следующим двум условиям:
|
1) - непрерывная функция;
2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.
Тогда .
После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.
Пример. .
Решение.
.
Пример. .
Решение.
.
Пример. .
Решение.
Полагая и продифференцировав обе части этого равенства, получаем:
или .
Тогда первоначальный интеграл равен:
.
Пример. .
Решение.
.
Задание 4. Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
Применяется формула в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: , , .
В этом случае в качестве выбирается многочлен .
Пример. .
Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен.
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: , , , , .
В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.
Пример. .
Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция.
.
3) Интегралы вида: , .
Метод интегрирования по частям применяется два раза до появления исходного интеграла. Оба раза в качестве берем либо , либо тригонометрическую функцию. Получаем уравнение относительно исходного интеграла и решаем его.
Пример. .
Решение. Это интеграл вида: (3 случай). Поэтому в качестве выберем .
|
.
Обозначим исходный интеграл .
Получим уравнение:
;
;
.
Таким образом, .
В некоторых случаях метод интегрирования по частям надо применять неоднократно.
Пример. .
Решение.
.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!