История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-05-23 | 716 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Комплексным числом называется упорядоченная пара (х, у) действительныхчисел, которую можно записать выражением
z = х + i у,
где х и у – действительные числа,
i - мнимая единица, i 2 = - 1, = i.
х – действительная часть к.ч. (Re z),
у – мнимая часть к.ч. (Im z).
Обозначение i для мнимой единицы ввел Леонард Эйлер в 1777 году. Математик, физик, механик, астроном – он родился в Швейцарии в 1707 году и окончил Базельский университет в 1724 году. По приглашению Петербургской Академии приехал в Россию в 1727. До конца жизни с небольшим перерывом он работал в Петербурге.
ПРИМЕР 1. Решить уравнение х2 + 4 = 0.
РЕШЕНИЕ. х2 = - 4,
.
ОТВЕТ: х1 = 2 i, х2 = - 2 i.
Алгебраическая запись комплексного числа
z = х + iу,
х = Re z - действительная часть к. ч.,
у = Im z - мнимая часть к.ч.
если х = 0, то число i у – чисто мнимое,
если у = 0, то число отождествляется с действительным числом.
– сопряженные числа
(отличаются знаком мнимых частей).
На плоскости зададим прямоугольную декартову систему координат.
Комплексному числу z = х + i у ставим в соответствие точку М этой плоскости с координатами (х, у), вследствие этого:
Ох - действительная ось,
Оу - мнимая ось.
Всякое комплексное число z = х + i у можно изображать радиус-вектором .
модуль комплексного числа:
r =│z│= (длина вектора)
аргумент комплексного числа:
Arg z = φ = (уголрадиус-вектора)
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен.
Аргумент комплексного числа z ≠ 0 величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πκ, где κ – целое число.
Главное значение аргумента заключено в промежутке (-π, π].
Формы записи комплексных чисел.
|
Алгебраическая форма
z = x + iy.
Тригонометрическая форма
z = r (cos φ + i sin φ).
3) Показательная форма
z = rei φ.
ПРИМЕР.Записать число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах.
РЕШЕНИЕ.
1) Найдем модуль к.ч.: имеем х = -1, у = 1,
тогда .
2) Найдем аргумент к.ч.:
φ = , т.к. вектор во 2-ой четверти.
3) Тригонометрическая форма
z = - 1 + i =
4) Показательная форма- 1 + i = .
Действия над комплексными числами.
Все арифметические операции над комплексными числами определяются из правил сложения и умножения многочленов (x1 + iy1) и (x2 + iy2), считая i 2 = - 1.
Рассмотрим действия над комплексными числами z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2.
1) Сложение двух комплексных чисел
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 +y2)
2) Вычитание двух комплексных чисел
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 -y2)
3) Произведение двух комплексных чисел z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2y1)
4) Частное двух комплексных чисел (домножить числитель и знаменатель на число сопряженное знаменателю и выполним преобразования, учитывая, что i 2 = - 1)
ПРИМЕР. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел
z1 = 5 + i и z2 = 2 + 3i.
Решение.
Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.
Основные понятия.
1) Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a; b], если при всех х [a; b] имеет место равенство
или
Теорема. Если F(x) – некоторая первообразнаядля функции f(x), х [a; b], то множество всех первообразных для f(x) имеет вид F(x)+С, где С – произвольная постоянная.
2) Множество всех первообразных F(x)+ С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
f(x) – подынтегральная функция,
f(x)dx – подынтегральное выражение.
Пример. Найти неопределенный интеграл
Решение.
Проверка.
3) Действие нахождения неопределенного интеграла (первообразной) называется интегрированием (это действие обратное дифференцированию).
4) Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство (множество) «параллельных кривых»
|
у =F(x)+ С.
График каждой первообразной называется интегральной кривой.
5) Функция f(x), имеющая неопределенный интеграл, называется интегрируемой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
9.2 Свойства неопределенного интеграла
1. ;
(Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному дифференциалу).
2.
(Интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной).
3.
(Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).
4.
(Интеграл от алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов от этих слагаемых)
5. Интеграл не зависит от переменной интегрирования
Таблица основных неопределенных интегралов
За переменную интегрирования в таблице принимаем u.
Обозначим: С – постоянное число,
а, п – натуральные числа.
= и + С | |
= , п ≠ – 1 | |
= | |
= | |
= еи + С | |
= sin u + C | |
= cos u + C | |
= – | |
= | |
= tg u + C | |
= – ctg u +C | |
= arcsin u + C | |
= | |
= | |
= | |
= | |
= | |
= | |
= |
9.4 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Табличное интегрирование
Чтобы приступить к действию интегрирования, необходимо наизусть знать
таблицу производных и интегралов.
Примеры: 1) ;
2) ;
3) .
Метод подстановки
Метод подстановки, или замена переменной в неопределенном интеграле состоит в том, чтобы в подынтегральной функции ввести новую переменную с целью привести исходный интеграл к табличному варианту.
Примеры:
1) ; 2) ; 3) ;
3) ; 4) ; 5) .
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!