Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-05-22 | 339 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Модуль 3.
Лекция 19. Последовательность независимых испытаний
Раздел 19.1. Схема Бернулли
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли
Раздел 19.2. Предельные теоремы для схемы Бернулли:
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Гаусса
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа
Теорема Пуассона
Программные положения
В лекции речь идет об анализе результата повторных испытаний – последовательного проведения n раз одного и того же опыта или одновременного проведения n одинаковых опытов. Речь идет о классической модельной схеме эксперимента с повторением независимых испытаний с двумя возможными исходами – схеме Бернулли. Рассматриваются формула Бернулли и приближенные формулы для вычисления числа успехов
Методические рекомендации
Перед чтением лекции повторите определение независимых событий.
Уделите внимание тому, как будет выглядеть пространство элементарных событий для схемы Бернулли для схемы из n испытаний (при конкретных n).
Докажите формулу Бернулли и укажите, какие ограничения накладывает количество испытаний. Обратите внимание на функции Гаусса и Лапласа, их свойства и графики
Вопросы для самоконтроля
|
Литература по теме
А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, пп.9-10
А.В.Дорофеева «Высшая математика. Гуманитарные специальности» Глава 13, п.13.7
Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 2
Теория вероятностей под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (серия «Математика в техническом университете», выпуск XVI, МГТУ им.Баумана) Глава 3
Пример 19.1.3.
Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша в лотерее была не менее заданного значения Р з = 0,9.
Пусть куплено n билетов. Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью р = 0,01. Тогда вероятность получить к выигрышных билетов можно определить, используя формулу Бернулли. В частности, имеем при q = 1 — р:
Р{к ≥ 1} = 1 - qn = 1 – (1 - р)n ≥ Рз,
откуда получаем
n ≥ ln (1 – P) / ln (1 – p) = ln 0,1 / ln 0,99 ≈ 230
Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных билетов.
По формуле Бернулли можно подсчитать вероятности всех возможных частот: x =0,1,2,3,4,5.
Формула Бернулли при заданных числах p и n позволяет рассчитывать вероятность любой частоты x (0 £ x £ n). Возникает естественный вопрос: какой частоте будет соответствовать наибольшая вероятность?
Предположим, что такая частота существует, и попытаемся ее определить из условия, что вероятность этой частоты не меньше вероятности "предыдущей" и "последующей" частот:
|
Pn (x) ³ Pn (x- 1);
Pn (x) ³ Pn (x+ 1)
Первое неравенство представляется в виде:
,
что эквивалентно или . Отсюда следует:
Решая второе неравенство, получим
Таким образом, частота, имеющая наибольшую вероятность (чем вероятнейшая частота), определяется двойным неравенством
Если np + p – целое число (тогда и np – q – целое число), то две частоты: x=np – q и x=np + p обладают наибольшей вероятностью. Например, при , наивероятнейшие частоты: x = 3; x = 4.
Теорема Пуассона.
Асимптотическое представление Pn (x) через j(х) тем хуже, чем больше р отличается от ½, а для случая p=0, q=1 вообще неприменимо. Однако большой круг задач связан именно с отысканием Pn (x) именно при малых значениях р.Для того, чтобы в этом случае теорема Муавра-Лапласа дала небольшую погрешность необходимо очень большое n, Поэтому требуется специальная формула, предназначенная специально для малых р, которая и приводится в теореме Пуассона:
Если
1) Число испытаний n велико
2) Мы интересуемся вероятностью Pn (x) числа успехов х в серии из n испытаний
3) р уменьшается с ростом n, т.е λ = np – константа(постоянная), т.е, рассматривается случай редких успехов.
Тогда выполняется
Замечание 19.2.3. Для указанной величины Pn (x) – функции Пуассона - также существуют таблицы.
Пример 19.2.3. Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0,001. Сообщение считают принятым, если в нем отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.
Предлагаемое сообщение содержит 2000 символов. Предполагая, что символы искажаются независимо, получаем схему Бернулли, в которой n=2000, p=0,001, x=0. λ = np =2. Тогда Р 2000(0) = 0,13534 (0! = 1)
Пример 19.2.4. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более выстрелами, если производится 5000 выстрелов.
Искомая вероятность равна 1 - Р 5000(0) - Р 5000(1)»1 – е-5 – 5е-5» 0,9596
Модуль 3.
Лекция 19. Последовательность независимых испытаний
Раздел 19.1. Схема Бернулли
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли.
Формула Бернулли
Раздел 19.2. Предельные теоремы для схемы Бернулли:
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Функция Гаусса
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Функция Лапласа
|
Теорема Пуассона
Программные положения
В лекции речь идет об анализе результата повторных испытаний – последовательного проведения n раз одного и того же опыта или одновременного проведения n одинаковых опытов. Речь идет о классической модельной схеме эксперимента с повторением независимых испытаний с двумя возможными исходами – схеме Бернулли. Рассматриваются формула Бернулли и приближенные формулы для вычисления числа успехов
Методические рекомендации
Перед чтением лекции повторите определение независимых событий.
Уделите внимание тому, как будет выглядеть пространство элементарных событий для схемы Бернулли для схемы из n испытаний (при конкретных n).
Докажите формулу Бернулли и укажите, какие ограничения накладывает количество испытаний. Обратите внимание на функции Гаусса и Лапласа, их свойства и графики
Вопросы для самоконтроля
Литература по теме
А.Н.Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики» Часть I, пп.9-10
А.В.Дорофеева «Высшая математика. Гуманитарные специальности» Глава 13, п.13.7
Б.В.Гнеденко «Курс теории вероятностей» Глава 2
Теория вероятностей под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (серия «Математика в техническом университете», выпуск XVI, МГТУ им.Баумана) Глава 3
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!