K - медленные функции времени.

Легко видеть, что высшие гармоники n > 1 не дают вклада в усредненное

Уравнений, и в результате получаем

d φ k

dt = ω 0 +

ε

N

N

∑

j = 1

sin (φ j - φ k - α),

(12,43)

Где

ε = N

2 eR 2 I ω 0 / ¯ h - R ω 2

0

√ (1 / C - L ω 2

0

) 2 + (r + NR) 2 ω 2

0

.

Полученные уравнения совпадают с фазовой моделью Курамото (12.1), единственное

Разница в том, что термин взаимодействия имеет несколько более общую форму. Угол α

во взаимодействии срок зависит от свойств нагрузки. Если α = 0, взаимодействие

между переходами является притягивающим, в то время как при α = 0 каждаяпарапереходовпредпочитает

иметь конечный фазовый сдвиг. Тем не менее, даже при α = 0 можноискатьин -

фазы раствора ф 1 = φ 2 = ··· = φ N. Это решение имеет разную частоту.

Стр. Решебника 316

294

Популяции глобально связанных осцилляторов

из ω 0 и является устойчивым, если ε cos α > 0 (линеаризация (12.43) даетпростуюматрицу

с одним нулевым собственным значением и N - 1 собственным значением ε cos α). Вслучаенестабильности

Фазово-синхронизированное состояние, другой режим с равномерно распределенными фазами (т. е.

φ 0

k = 2 π k / N). Это так называемое расширенное состояние нейтрально стабильно (см. [Strogatz and

Миролло 1993; Watanabe and Strogatz 1993, 1994] для подробностей).

Если учесть небольшой беспорядок джозефсоновских контактов (например, из-за

Распределения критических токов I c), то получаем населенность с различными естественными

Частоты. Таким образом, синхронизацию таких джозефсоновских контактов можно описать как

частный пример перехода Курамото при конечной константе связи ε [ Визен -

feld et al. 1996].

Эффекты конечного размера

Ожидается, что синхронизирующий переход в популяции осцилляторов будет резким.

в термодинамическом пределе N →∞. Дляконечныхансамблейнаблюдаетсяконечныйразмер

эффекты, аналогичные эффектам в статистической механике [Cardy 1988]. Основная идея заключается в том, что

Конечность населенности приводит к флуктуациям среднего поля порядка

∼ N − 1/2. Например, Пиковски и Руффо [1999] утверждали, что конечные ансамбли

Фазовые генераторы, управляемые шумом, могут быть описаны формулой. (12.27) с дополнительным

колеблющийся срок:

˙ Z = (

ε

2 -

σ 2) Z -

ε 2

8 σ 2 | Z | 2 Z + η 1 (t) + i η 2 (t),

〈 Η i (t) η j (t ′

Знак равно

Д 2

N

δ ij δ (t - t ′).

(12,44)

Шумовой член пропорционален 1 / √ N и исчезает в термодинамическом пределе. Его

Влияние на динамику среднего поля легко понять, если интерпретировать

Уравнение (12.44) как уравнение для слабонелинейного зашумленного автогенератора (см.

например, [Стратонович 1963]). На фазовой плоскости X = Re (Z), Y = Im (Z) получаем

Размытый предельный цикл, и амплитуда и фаза среднего поля колеблются,

см. рис. 12.5.

Ансамбль хаотических осцилляторов

Фазовая динамика хаотического осциллятора может быть аналогична динамике зашумленного периода.

Одический осциллятор (см. главу 10). Соответственно, синхронизация в популяции

Глобально связанные хаотические осцилляторы похожи на появление когерентности в

Ансамбль зашумленных генераторов, как описано в разделах 12.2 и 12.3.

В качестве примера мы представляем здесь результаты численного моделирования популяции

глобально связанных идентичных генераторов Ресслера [Пиковский и др. 1996]:

Стр. Решебника 317

Обобщения

295

˙ x k = - y k - z k + ε X,

˙ y k = x k + ay k,

˙ z k = 0,4 + z k (x k - 8,5).

(12,45)

Здесь связь осуществляется через среднее поле

X =

1

N

N

∑

k = 1

Х к,

Y =

1

N

N

∑

k = 1

У к.

(12,46)

Среднее поле обращается в нуль в несинхронном режиме и демонстрирует довольно регулярную

В этой системе происходят постоянные колебания за пределами синхронизирующего перехода.

при ε ≈ 0,025. Примечательно, чтовсинхронномсостояниикаждый осциллятор в популяции

Остается хаотичным; когерентность появляется только за счет фазовой синхронизации. Мы иллюстрируем

это на рис. 12.6, где фазовые портреты одного осциллятора из ансамбля и

Среднего поля. Амплитуда среднего поля относительно мала,

Но определенно больше, чем колебания из-за конечного размера (эти колебания

Предположительно ответственны за амплитудную модуляцию среднего поля).

Неидентичные хаотические генераторы также могут синхронизироваться. Разные собственные частоты

Можно включить в модель (12.45), введя дополнительный параметр, определяющий

шкала времени поворотов:

0

250

500

Время

0,0

0,4

0,8

| Z |

–5

0

5

10

Arg Z

–1

0

1

Икс

–1

0

1

Y

а)

(б)

(c)

Рисунок 12.5. Эволюция среднего поля Z = X + iY в системе из 500 зашумленных

фазовые осцилляторы (см. уравнение (12.16)). (а) Фазовый портрет в координатах (X, Y): после

При начальных переходных процессах траектория заполняет кольцо шириной, пропорциональной N − 1/2. (б, в)

Зависимость фазы и амплитуды среднего поля от времени Z (t) от времени. Из