Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-06-02 | 37 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .
Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .
Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если , то строго возрастает на интервале . Если , то строго убывает на интервале .
Теорема 4 Если непрерывна на отрезке , дифферен-цируема на интервале и для , то строго возрастает на .
Экстремумы функции
О. Точки, в которых , называются стационарными.
О. Точки, в которых непрерывна, а или не существует, называются критическими
Из теоремы Ферма следует, что если точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но не является точкой экстремума.
Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть дифференцируема в некоторой и непрерывна в точке . Тогда 1) если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;
2) если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
По теореме Вейерштрасса, если непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существуют такие точки, в которых достигает свои максимальное и минимальное значения. Если имеет в точках локальные экстремумы, то её максимальное и минимальное значения находятся среди чисел .
|
Выпуклость функции
О. Функция называется выпуклой вверх на отрезке , если выполняется неравенство: .
То есть для любых двух точек и графика функции середина хорды лежит ниже соответствующей точки графика.
О. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если выполняется неравенство: .
Теорема (достаточное условие выпуклости) Пусть существует на отрезке , а – на интервале . Тогда
а) если , то выпукла вниз на отрезке ; б) если , то выпукла вверх на отрезке .
Замечание. а) если , то строго выпукла вниз на отрезке ; б) если , то строго выпукла вверх на .
Точки перегиба
О. Пусть непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если при переходе через точку меняет направление выпуклости, т.е. такое, что на одном из интервалов , она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называется точкой перегиба функции .
Например, для – точка перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если точка перегиба функции и в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .
Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если непрерывна в точке , имеет в точке и при переходе через точку меняет знак, то – точка перегиба функции .
Асимптоты
О. Если или , то прямая называется вертикальной асимптотой графика функции .
Например, для функций прямая –вертикальная асимптота, для функции прямые являются вертикальными асимптотами.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или в граничных точках области определения.
О. Прямая называется асимптотой графика функции при , если .
Если , то асимптота называется наклонной.
Если , то асимптота называется горизонтальной.
Например, для функций прямая –горизонтальная асимптота, для функции прямые являются горизонтальными асимптотами.
|
Теорема Прямая является асимптотой графика функции при тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела: и .
Схема исследования функции
1) Найти область определения функции . Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства (т.е. промежутки, на которых и ).
3) Найти асимптоты графика функции. Найти односторонние пределы в точках разрыва и граничных точках области определения.
4) Вычислить производную функции. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции.
5) Вычислить вторую производную функции. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.
6) Изобразить график функции.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!