Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2021-06-02 | 28 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть задана последовательность .
О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел . Тогда последовательность называют подпоследовательностью последовательности .
О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.
О. Если обозначить – множество всех частичных пределов, то называется верхним пределом и обозначается , называется нижним пределом и обозначается .
Если не ограничена сверху, то . Если не ограничена снизу, то .
Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу.
Утверждение Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)
Критерий Коши сходимости последовательности
O. Последовательность называется фундаментальной, если
.
Теорема (критерий Коши) Числовая последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она является фундаментальной.
Предел функции в точке
Определение предела по Коши
Напомним, что окрестностью точки a называется множество
.
Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .
О. Число А называется пределом функции в точке a, если
,
то есть для найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .
Пишут .
На языке окрестностей означает, что
.
Пример 1
Решение. Здесь . Нужно доказать, что
.
Действительно, , если . Т. о.,
.
Пример 2
Решение. , , если взять .
Значит, .
Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.
|
Доказательство. Допустим, и , причем для определенности будем считать, что .
Возьмем непересекающиеся окрестности точек и . Так как , то для . Т. к. , то для .
Рассмотрим . Тогда и . Противоречие. ■
Определение предела по Гейне
О. Число А называется пределом функции в точке a, если для любой последовательности , сходящейся к точке a, и такой, что , следует, что последовательность соответствующих значений функции сходится к числу А.
Т.е. и при .
Пример не существует.
Решение. Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.
Возьмем при .
Но .
Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Различные типы пределов
а) Односторонние пределы.
О. Число называется пределом слева функции в точке a и обозначается , если
.
Аналогично означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также и .
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
, если .
Например, .
в) Предел в бесконечности.
, если .
Например, .
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!