Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2021-12-07 | 26 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Урок-лекция
Задание: изучить материал и ответить на контрольные вопросы.
Тема: «Понятие криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница».
Цель урока:
ввести понятие определенного интеграла, криволинейной трапеции, рассмотреть свойства определённого интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.
Ход урока.
1. Изучение нового материала
Рассмотрим фигуру изображенную на рис.1. Снизу фигура ограничена осью абсцисс, с боков прямыми х=а и х=b, а сверху графиком функции f непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
Рассмотрим задачу.
Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции у=f(x). Требуется вычислить площадь этой фигуры.
Найдем, используя геометрические соображения, приближенное значение площади. Для этого разобьем отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей с помощью точек , …, , ,…, . Проведем соответствующие ординаты. Криволинейная трапеция разбилась на n частей – на n узеньких столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [ ; ]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(). Площадь прямоугольника равна , где -длина отрезка [ ; ]. Мы получили приближенное значение площади k-го столбика.
Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (рис.2):
|
Считаем, что , .Приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
Принято считать, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (): .
Можно доказать, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у= f(х) по отрезку [а; b] и обозначают так: ;
читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс. Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним)
Вернемся к задаче и запишем: S= ;
здесь S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Масса неоднородного стержня с плотностью p(x) вычисляется по формуле m= . В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени от t=а до t=b, вычисляется по формуле s= . Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла. Для вычисления определённого интеграла воспользуемся теоремой.
Теорема. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула , где F(x) – первообразная для f(x).
Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница.
Урок-лекция
Задание: изучить материал и ответить на контрольные вопросы.
Тема: «Понятие криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница».
Цель урока:
ввести понятие определенного интеграла, криволинейной трапеции, рассмотреть свойства определённого интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.
Ход урока.
1. Изучение нового материала
Рассмотрим фигуру изображенную на рис.1. Снизу фигура ограничена осью абсцисс, с боков прямыми х=а и х=b, а сверху графиком функции f непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
Рассмотрим задачу.
Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции у=f(x). Требуется вычислить площадь этой фигуры.
|
Найдем, используя геометрические соображения, приближенное значение площади. Для этого разобьем отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей с помощью точек , …, , ,…, . Проведем соответствующие ординаты. Криволинейная трапеция разбилась на n частей – на n узеньких столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [ ; ]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(). Площадь прямоугольника равна , где -длина отрезка [ ; ]. Мы получили приближенное значение площади k-го столбика.
Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (рис.2):
Считаем, что , .Приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
Принято считать, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (): .
Можно доказать, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у= f(х) по отрезку [а; b] и обозначают так: ;
читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс. Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним)
Вернемся к задаче и запишем: S= ;
здесь S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Масса неоднородного стержня с плотностью p(x) вычисляется по формуле m= . В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени от t=а до t=b, вычисляется по формуле s= . Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла. Для вычисления определённого интеграла воспользуемся теоремой.
Теорема. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула , где F(x) – первообразная для f(x).
Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница.
Рассмотрим свойства определённого интеграла.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!