Методы подсчета площадей различных геометрических фигур

1.1 Метод подсчета единичных клеток:

Он основан на свойстве, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Такой метод доступен даже первокласснику. Но он подходит только для фигур, построенных из целых клеток или их половинок (2 половинки = 1 целая клетка).

Рис. S=9кв.ед.

Рис. S=18кв.ед.

Рис. S=16кв.ед.

Для вычисления площади фигуры достаточно посчитать какое количество клеточек.

Для многоугольников, стороны которых не проходят по клеткам, этот способ применить вряд ли получится.

Метод применения формул для вычисления площадей

К 9 классу были изучены формулы, для нахождения площадей всех геометрических фигур на плоскости. Если заданный многоугольник, является одним из изученных и известна формула для нахождения его площади, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных отрезков по клеточкам и выполнению расчетов.

Рис.	1) Проведем высоту и найдем ее длину. h=5 2) Найдем длину стороны, к которой проведена эта высота. а=6 3) Вычислим площадь параллелограмма: S=5*6=30кв.ед.
Рис.	1) Найдем длины верхнего и нижнего основания, а=4, b=8. 2) Проведем высоту и найдем ее длину h=3. 3) Вычислим площадь трапеции S=((4+8):2)*3=6*3=18кв.ед.
Рис.	1) Найдем длину высоты h=4. 2) Найдем основание треугольника, а=7. 3) Вычислим площадь треугольника S=0,5*7*4=14кв.ед.

 

Способ очень удобный, но он не всегда применим. На самом деле, даже для прямоугольника найти площадь будет сложно, если невозможно определить длины нужных отрезков или данный многоугольник незнаком и формул площади не знаешь или забыл.

Метод разбиения на части

Фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью (без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Рис.	1) Разобьем фигуру на прямоугольник и прямоугольный треугольник. 2) Найдем площадь прямоугольника, это можно сделать просто подсчетом клеточек S=6кв.ед. 3) Найдем площадь треугольника S=0,5*3*3=4,5кв.ед. 4) Найдем сумму площадей этих фигур 6+4,5=10,5кв.ед.

Способ подходит для любых многоугольников, но он достаточно трудоемкий, и при работе нужно быть внимательным и не допускать вычислительных ошибок.

Метод достраивания до прямоугольника

Вокруг данного многоугольника строится прямоугольник. Чтобы решить задачу, нужно из площади этого прямоугольника вычесть сумму площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника. Как и способ разбиения на части этот метод подходит для любого многоугольника, но он трудоемкий.

Рис.	1) Найдем площадь прямоугольника S=14*7=108кв.ед. 2) Найдем площади прямоугольных треугольников и вычтем эти значения из площади прямоугольника: S1=0,5*7*4=14кв.ед. S2=0,5*7*10=35кв.ед. S=108-14-35=59кв.ед.

Формула Пика

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика³. Так как про этот метод ничего не написано в учебнике, нужно рассмотреть его поподробнее.

 

 

Рис.	Формула Пика: Г=20 (точки на границе), В=27 (точки внутри) S=В+Г/2-1=27+10-1=36

Вот такие методы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке удалось найти. Они все несложные, но при решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий.