Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2022-05-12 | 36 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнение прямой линейной регрессии представляет собой уравнение прямой:
𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 (3.6)
Для нахождения коэффициентов в этом уравнении используется метод наименьших квадратов (МНК), т.к. он даёт наименьшую ошибку:
∑𝑁 [𝑦𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖)]2 → 𝑚𝑖𝑛 (3.7)
𝑖=1
[𝑦𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑥𝑖)]2) = 0
�𝜕𝑎
𝑖=1
(3.8)
𝜕𝑏
𝑖=1
−2 ∑𝑁 [𝑦𝑖 − 𝑎 − 𝑏𝑥𝑖] = 0
� 𝑖=0
|
(3.9)
∑𝑁
𝑦𝑖 − 𝑎 ∙ 𝑁 − 𝑏 ∙ ∑𝑁 𝑥𝑖 = 0
� 𝑁
𝑖=0
𝑖=0
𝑁 𝑁 2
(3.10)
∑𝑖=0 𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑎 ∙ ∑𝑖=0 𝑥𝑖 − 𝑏 ∙ ∑𝑖=0 𝑥𝑖 = 0
|
𝑁
|
𝑦𝑖−𝑏∙∑𝑁
|
𝑥𝑖
= 𝑦� − 𝑏𝑥̅
|
|
𝑖=0
𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − (𝑦� − 𝑏𝑥̅) ∙ ∑
𝑥𝑖 − 𝑏 ∙ ∑𝑁
𝑥𝑖2 = 0
Преобразуем далее второе уравнение системы (3.11):
|
𝑥𝑖2 − 𝑥̅ ∙ ∑𝑁
𝑥𝑖) = ∑𝑁
𝑦𝑖 ∙ 𝑥𝑖 − 𝑦� ∙ ∑
𝑥𝑖
(3.12)
|
|
|
|
|
𝑏 ∙ 𝑁 ∙ (�𝑥�2� − 𝑥̅2) = 𝑁 ∙ (�𝑥�𝑦� − 𝑦� ∙ 𝑥̅) (3.14)
|
𝑥��2�−𝑥̅2
(3.15)
Коэффициенты уравнения прямой линейной регрессии:
𝑏 = �𝑥�𝑦�−𝑦�∙𝑥̅
� �𝑥�2�−𝑥̅2
𝑎 = 𝑦� − 𝑏𝑥̅
(3.16)
Уравнение прямой регрессии принимает вид:
𝑦 = 𝑦� + 𝑏(𝑥 − 𝑥̅) (3.17)
Произведем промежуточные вычисления, необходимые для нахождения численного значения коэффициентов, пользуясь исходными данными из таблицы 3.1. Результаты промежуточных вычислений представлены в таблице 3.4.
Таблица 3.5. Данные для нахождения коэффициентов регрессии.
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | Среднее |
x | 20 | 40 | 60 | 80 | 50 |
y | 0,405 | 0,708 | 0,807 | 0,945 | 0,716 |
x*y | 8,1 | 28,32 | 48,42 | 75,6 | 40,1 |
𝒙𝟐 | 400 | 1600 | 3600 | 6400 | 3000 |
𝒚𝟐 | 0,164025 | 0,501264 | 0,651249 | 0,893025 | 0,552 |
|
3000−50
𝑎 = 0,716 − 0,00859 ∙ 50 = 0,2865 (3.19)
Окончательно уравнение прямой линейной регрессии:
ℎ(𝑁) = 0,716 + 0,00859 ∙ (𝑁 − 50) (3.20)
ℎ(𝑁) = 0,00859 ∙ 𝑁 + 0,2865 (3.21)
Уравнение обратной линейной регрессии имеет вид:
𝑥 = 𝑐 + 𝑑𝑦 (3.22)
Вывод аналогичен приведенному для уравнения прямой линейной регрессии, x и y в формулах меняются местами. Получаем:
|
� 𝑦� �2�−𝑦�2
𝑐 = 𝑥̅ − 𝑑𝑦�
(3.23)
𝑥 = 𝑥̅ + 𝑑(𝑦 − 𝑦�) (3.24)
|
0,552−0,716
𝑐 = 50 − 109,138 ∙ 0,716 = −28,17 (3.26)
Окончательно уравнение обратной линейной регрессии:
𝑁(ℎ) = 50 + 109,138 ∙ (ℎ − 0,716) (3.27)
𝑁(ℎ) = 109,138 ∙ ℎ − 28,17 (3.28)
Углы наклона прямых:
𝛼𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑏 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(0,00859) = 0,492° (3.29)
|
𝛼𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(109,138) = 89,475° (3.30)
𝛽 = 90° − �𝛼𝑥 + 𝛼𝑦� = 0,033° (3.31)
Коэффициент парной корреляции:
𝑟̂ = √𝑏 ∙ 𝑑 = 0,968
𝑇 = 𝑟 ⋅ √𝑛 − 2 = 0,968 ⋅ √65 − 2 = 30,6
√1 − 𝑟2 �1 − 0, 9682
Критерий Стьюдента по приложению 3 для степени свободы n-2 = 63 и уровня значимости α = 0,05:
𝑡табл = 1,6706 < 30,6
Полученное значение больше табличного, гипотеза отвергается. Коэффициент корреляции значительно отличается от нуля, между h и N существует взаимосвязь.
Рис. 3.7. Экспериментальные точки и линии прямой и обратной регрессии.
Проверка данных по среднему и дисперсии с применением критериев Стьюдента и Фишера
По заданию (Табл. 1.1) требуется проверить гипотезу о принадлежности к одной генеральной совокупности средних значений и дисперсий выборок для 20 и 40 обработанных отверстий. Выборки взяты из Табл. 1.3 и сведены в отдельную таблицу:
Таблица 3.6: Выборки значений h (мм) для заданных значений N, со средними значениями и дисперсиями.
№ | N, шт. | № | N, шт. | ||
20 | 40 | 20 | 40 | ||
1 | 0,3 | 1,3 | 13 | 0,2 | 0,25 |
2 | 0,3 | 0,5 | 14 | 0,6 | 1 |
3 | 0,7 | 0,6 | 15 | 0,35 | 0,8 |
4 | 0,2 | 0,8 | 16 | 0,2 | 0,8 |
5 | 0 | 0,7 | 17 | 0 | 0,9 |
6 | 1 | 1 | 18 | 0,3 | 0,4 |
7 | 0,5 | 0,9 | 19 | 0,15 | 0,2 |
8 | 0,5 | 0,7 | 20 | 0,2 | 0,4 |
9 | 0,2 | 0,6 | 21 | 0,3 | 0,9 |
10 | 0,8 | 0 | 22 | 0,1 | 0,5 |
11 | 0,4 | 0,9 | ℎ�, мм. | 0,368 | 0,643 |
12 | 0,8 | 0 | 𝑆2, мм2 | 0,069 | 0,108 |
Проверка по средним значениям
Проведем проверку гипотезы о принадлежности средних значений двух выборок к одной генеральной совокупности с применением критерия Стьюдента. Для проверки по данному критерию воспользуемся формулой:
𝑡 = |𝑥�� 𝑎 � − 𝑥 � � 𝑏 � | ∙ � 𝑛 𝑎 𝑛 𝑏 (𝑛 𝑎 + 𝑛 𝑏 − 2), (3.32)
�𝑛𝑎𝑆2−𝑛𝑏𝑆2
𝑛𝑎+𝑛𝑏
𝑎 𝑏
где 𝑥�𝑎�, 𝑥� 𝑏� - средние значения выборок,
𝑛𝑎, 𝑛𝑏 - объемы выборок,
∑𝑛𝑎 (𝑥𝑎𝑖 − 𝑥̅𝑎)2 ∑𝑛𝑏 (𝑥𝑏𝑖 − 𝑥̅𝑏)2
|
𝑆2 = 𝑖=1 , 𝑆2 = 𝑖=1 ,
𝑎
𝑥𝑎𝑖, 𝑥𝑏𝑖 − i-тые элементы выборок.
𝑛𝑎 − 1 𝑏
𝑛𝑏 − 1
𝑡 = |0,643−0,368|
√22∙0,108−22∙0,069
∙ �22∙22∙(22+22−2) = 6,381 (3.33)
|
𝑓 = 𝑛𝑎 + 𝑛𝑏 − 2 = 22 + 22 − 2 = 42 и уровня значимости 𝛼 = 0,05; 𝑡табл = 2,018.
𝑡 > 𝑡табл - гипотеза отвергается, средние значения двух выборок не относятся к одной генеральной совокупности.
Проверка дисперсий
Проведем проверку гипотезы о принадлежности дисперсий двух выборок к одной генеральной совокупности с применением критерия Фишера.
Критерий Фишера:
Где 𝑆2 > 𝑆2.
2
|
|
1
2 1
𝐹 = 0,108 = 1,565 (3.35)
0,069
Сравниваем данное значение с табличным (Приложение 4). Для чисел степеней свободы
𝑓1 = 𝑛1 − 1 = 22 − 1 = 21; 𝑓2 = 𝑛2 − 1 = 22 − 1 = 21 и уровня значимости 𝛼 = 0,05, 𝐹табл = 2,05.
𝐹 < 𝐹табл - гипотеза принимается, дисперсии двух выборок относятся к одной генеральной совокупности.
Выводы
o Анализ выборки N показал отсутствие грубых ошибок при проведении эксперимента, это означает, что условия проведения эксперимента нарушены не были, оператор не допустил ошибок, однако данная выборка не подчиняется нормальному закону распределения, согласно проверке по критерию САО, проверке по размаху, проверке с помощью ЭВМ в ПО «NORM».
o Расчет по корреляционной таблице для N и h показал, что между этими двумя параметрами существует положительная корреляция: большим значениям N соответствуют большие значения h.
o В результате аппроксимации данных графическим способом и на ЭВМ было установлено, что с наибольшим по модулю коэффициентом корреляции R=-0,9956, зависимость h(N) аппроксимирует степенная функция ℎ = 1,940335 − 3,76897 ∗ 𝑏 ∙ 𝑁−0,3.
o Вывод уравнений линейной регрессии показал, что углы наклона линий прямой и обратной регрессии отличаются незначительно, найденный по ним коэффициент корреляции так же близок к единице и равен 𝑟̂ = 0,968. Это говорит о том, что экспериментальная зависимость близка к линейной.
|
o В результате проверки средних значений выборок h для двух разных чисел отверстий установлено, что они не относятся к одной генеральной совокупности. Это значит, что износ инструмента неодинаков для разного количества обработанных отверстий. Проверка дисперсий для этих двух выборок показала, что они относятся к одной генеральной совокупности. Это значит, что измерения износа были выполнены с одинаковой точностью для этих двух выборок.
Приложения
Приложение 1
Табл. 5.1. Квантили распределения максимального относительного отклонения 𝑟1−𝑃.
n | Уровень значимости α |
n | Уровень значимости α | ||||||
0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,1 | 0,05 | 0,025 | 0,01 | ||
4 | 1,65 | 1,69 | 1,71 | 1,72 | 15 | 2,33 | 2,49 | 2,64 | 2,8 |
5 | 1,79 | 1,87 | 1,92 | 1,96 | 16 | 2,35 | 2,52 | 2,67 | 2,84 |
6 | 1,89 | 2 | 2,07 | 2,13 | 17 | 2,38 | 2,55 | 2,7 | 2,87 |
7 | 1,97 | 2,09 | 2,18 | 2,27 | 18 | 2,4 | 2,58 | 2,73 | 2,9 |
8 | 2,04 | 2,17 | 2,27 | 2,37 | 19 | 2,43 | 2,6 | 2,75 | 2,93 |
9 | 2,1 | 2,24 | 2,35 | 2,46 | 20 | 2,45 | 2,62 | 2,78 | 2,96 |
10 | 2,15 | 2,29 | 2,41 | 2,54 | 21 | 2,47 | 2,64 | 2,8 | 2,98 |
11 | 2,19 | 2,34 | 2,47 | 2,61 | 22 | 2,49 | 2,66 | 2,82 | 3,01 |
12 | 2,23 | 2,39 | 2,52 | 2,66 | 23 | 2,5 | 2,68 | 2,84 | 3,03 |
13 | 2,26 | 2,43 | 2,56 | 2,71 | 24 | 2,52 | 2,7 | 2,86 | 3,05 |
14 | 2,3 | 2,46 | 2,6 | 2,76 | 25 | 2,54 | 2,72 | 2,88 | 3,07 |
Приложение 2
Табл. 5.2. Критические границы отношения R/S
n |
Нижние границы |
Верхние границы | ||
а=0,05 | а=0,10 | а=0,10 | а=0,05 | |
8 | 2,5 | 2,59 | 3,308 | 3,399 |
10 | 2,67 | 2,76 | 3,57 | 3,685 |
12 | 2,8 | 2,9 | 3,78 | 3,91 |
14 | 2,92 | 3,02 | 3,95 | 4,09 |
16 | 3,01 | 3,12 | 4,09 | 4,24 |
18 | 3,1 | 3,21 | 4,21 | 4,37 |
20 | 3,18 | 3,29 | 4,32 | 4,49 |
25 | 3,34 | 3,45 | 4,53 | 4,71 |
30 | 3,47 | 3,59 | 4,7 | 4,89 |
35 | 3,58 | 3,7 | 4,84 | 5,04 |
40 | 3,67 | 3,79 | 4,96 | 5,16 |
45 | 3,75 | 3,88 | 5,06 | 5,26 |
50 | 3,83 | 3,95 | 5,14 | 5,35 |
Приложение 3
Табл. 5.3. Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия)
для некоторых значений доверительной вероятности P и числа степеней свободы v.
Приложение 4
Табл. 5.4. Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости 𝛼 = 0,05.
𝛼 = 0,05 | 𝑓1 | |||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 | 24 | ||
𝑓2 | 1 | 161,45 | 199,5 | 215,72 | 224,57 | 230,17 | 233,97 | 238,89 | 243,91 | 249,04 |
2 | 18,51 | 19 | 19,16 | 19,25 | 19,3 | 19,33 | 19,37 | 19,41 | 19,45 | |
3 | 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,84 | 8,74 | 8,64 | |
4 | 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,04 | 5,91 | 5,77 | |
5 | 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,82 | 4,68 | 4,53 | |
6 | 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,15 | 4 | 3,84 | |
7 | 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,73 | 3,57 | 3,41 | |
8 | 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,44 | 3,28 | 3,12 | |
9 | 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,23 | 3,07 | 2,9 | |
10 | 4,96 | 4,1 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,07 | 2,91 | 2,74 | |
11 | 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,2 | 3,09 | 2,95 | 2,79 | 2,61 | |
12 | 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3 | 2,85 | 2,69 | 2,5 | |
13 | 4,67 | 3,8 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,77 | 2,6 | 2,42 | |
14 | 4,6 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,7 | 2,53 | 2,35 | |
15 | 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,9 | 2,79 | 2,64 | 2,48 | 2,29 | |
16 | 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,59 | 2,42 | 2,24 | |
17 | 4,45 | 3,59 | 3,2 | 2,96 | 2,81 | 2,7 | 2,55 | 2,38 | 2,19 | |
18 | 4,41 | 3,55 | 3,16 | 2,93 | 2,77 | 2,66 | 2,51 | 2,34 | 2,15 | |
19 | 4,38 | 3,52 | 3,13 | 2,9 | 2,74 | 2,63 | 2,48 | 2,31 | 2,11 | |
20 | 4,35 | 3,49 | 3,1 | 2,87 | 2,71 | 2,6 | 2,45 | 2,28 | 2,08 | |
21 | 4,32 | 3,47 | 3,07 | 2,84 | 2,68 | 2,57 | 2,42 | 2,25 | 2,05 | |
22 | 4,3 | 3,44 | 3,05 | 2,82 | 2,66 | 2,55 | 2,4 | 2,23 | 2,03 | |
23 | 4,28 | 3,42 | 3,03 | 2,8 | 2,64 | 2,53 | 2,38 | 2,2 | 2 | |
24 | 4,26 | 3,4 | 3,01 | 2,78 | 2,62 | 2,51 | 2,36 | 2,18 | 1,98 |
|
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!