История возникновения комплексных чисел

Содержание

Введение

1. История возникновения комплексных чисел……………………………...4

1.1. Развитие понятия числа....................................................................... 4

1.2. Развитие комплексных чисел............................................................... 6

2.Комплексные числа……………………………………………………….....7

1.3. Алгебраическая запись комплексного числа……………………………7

1.4. Геометрическое изображение комплексных чисел............................ 8

1.5. Тригонометрическая форма комплексного числа………………………10

1.6. Действия над комплексными числами…………………………………..11

1.7. Формула Эйлера и Муавра................................................................13

3.Применение комплексных чисел…………………………………………..14

3.1. Применение комплексных чисел в науке……………………………....14

4.Результаты социологического исследования……………………………..17

5.Заключение………………………………………………………………….18

6.Литература…………………………………………………………………..19

ВВЕДЕНИЕ

-1

В практике решения задач по физике и математике с помощью уравнений важное место занимают задачи, решаемые с помощью квадратных и кубических уравнений. Решение многих задач из динамики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом и они

имеют вид

a + b

. Указанные уравнения не имеют решения на области

действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл.

В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в механике, электротехнике, атомной физике и др.)

Цель исследования:

Выяснить какие факторы повлияли на возникновение новых чисел и узнать об использовании комплексных чисел в прикладных науках.

Задачи исследования:

1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;

2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формами представления;

3) рассмотреть области применения комплексных чисел в различных разделах математики и физики.

Объект исследования: комплексные числа.

Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?

Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.

Методы исследования:

1. библиографический метод;

2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);

3. метод моделирования и обоснования выводов;

4. метод классификации.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа.

Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла необходимость счёта.

Операции, которые можно проводить с натуральными числами: сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.

Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге

«Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).

Операции, которые можно проводить с отрицательными числами: сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком, но нельзя извлекать из под корня.

Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске.

Операции, которые можно проводить с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно извлекать из под корня.

Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо

добавить к рациональным числам числа иррациональные. Ограничившись рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить уравнение x²-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решений.

Множество действительных чисел (R) - в это множество входят рациональные и иррациональные числа. Все выше перечисленные операции выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений. Ведь на множестве действительных чисел не имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными коэффициентами, например, x² + 1=0, x²+x+1=0. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных, их назвали комплексными числами (С).

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа».

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Суммой комплексных чисел а+ bi и a'+b'i называют комплексное число (а+ а') + (b+ b')i. Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4- 8i)=1 - 3i.

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i)=9 + 0i. Так как запись 2 + 0i обозначает то же, что и 2 наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

 

ВЫЧИТАНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение. Разностью комплексных чисел а+bi и а’+bi называется комплексное число (а- а') + (b- b')i.

Пример 1. (-5 + 2i) -(3- 5i) = -8 + 7i.

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6.

УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Определение.  Произведением комплексных чисел а+bi   и a'+b'i

называется комплексное число (аа' – bb') + (ab' + ba')i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i²= -1

Пример. (1 - 2i)(3 + 2i)=3 - 6i + 2i - 4i² =3 - 6i + 2i + = 7- 4i.

ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Определение. Чтобы разделить комплексное число a+bi на комплексное число

а' + b'i необходимо найти такое число x+yi, которое в произведении с a^’+b’

даст a+ bi

Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряжённое со знаменателем

 

      

ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА И МУАВРА

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (cos j+isin j)ⁿ=cos(jn)+isin(n j).

Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: e^ix= cosx+isinx,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что е^{i p}= -1. Таким образом можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного. С помощью формулы Муавра выводится формула извлечения корня из комплексного числа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия и в настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому нам надо расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

Думаем, что мы добились поставленной цели. Познакомились с историей развития числа, понятием комплексного числа, формами записи комплексных чисел, с действиями над комплексными числами. Показали, как с помощью комплексных чисел можно вывести некоторые формулы тригонометрии.

Подводя итоги, мы пришли к следующему важному выводу: комплексные числа тесно взаимосвязаны с различными науками, но при этом, как показал опрос, уровень школьных знаний о них недостаточный, так как комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики. И поэтому, я считаю, что изучение комплексных чисел необходимо ввести в программу элективных курсов по алгебре.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др/ Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,

2. Колмогоров А.Н., Абрамов, Дудицин Алгебра и начала анализа 10- 11кл, Просвещение 2005г

3. Никольский С.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10- 11кл, Просвещение 2005г

4. Алгебра и начало анализа.10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А.Г. Мордковича.

 

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ

1. http://www.people.su/39021

2. http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg26.html

Содержание

Введение

1. История возникновения комплексных чисел……………………………...4

1.1. Развитие понятия числа....................................................................... 4

1.2. Развитие комплексных чисел............................................................... 6

2.Комплексные числа……………………………………………………….....7

1.3. Алгебраическая запись комплексного числа……………………………7

1.4. Геометрическое изображение комплексных чисел............................ 8

1.5. Тригонометрическая форма комплексного числа………………………10

1.6. Действия над комплексными числами…………………………………..11

1.7. Формула Эйлера и Муавра................................................................13

3.Применение комплексных чисел…………………………………………..14

3.1. Применение комплексных чисел в науке……………………………....14

4.Результаты социологического исследования……………………………..17

5.Заключение………………………………………………………………….18

6.Литература…………………………………………………………………..19

ВВЕДЕНИЕ

-1

В практике решения задач по физике и математике с помощью уравнений важное место занимают задачи, решаемые с помощью квадратных и кубических уравнений. Решение многих задач из динамики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом и они

имеют вид

a + b

. Указанные уравнения не имеют решения на области

действительных чисел, однако эти задачи имеют вполне определённый физический смысл.

В настоящие время комплексные числа широко используются для математического описания и решения многих вопросов физики и техники (в механике, электротехнике, атомной физике и др.)

Цель исследования:

Выяснить какие факторы повлияли на возникновение новых чисел и узнать об использовании комплексных чисел в прикладных науках.

Задачи исследования:

1) познакомиться с историей возникновения комплексного числа;

2) рассмотреть теоретические положения, связанные с понятием комплексного числа и его формами представления;

3) рассмотреть области применения комплексных чисел в различных разделах математики и физики.

Объект исследования: комплексные числа.

Проблема: невозможность решения квадратных уравнений на поле действительных чисел. Почему возникает новый вид чисел?

Гипотеза: комплексные числа - математическая модель для описания и решения задач, неразрешимых на поле действительных чисел.

Методы исследования:

1. библиографический метод;

2. общенаучный метод (обобщение и систематизация научных положений);

3. метод моделирования и обоснования выводов;

4. метод классификации.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа.

Натуральные числа (N) возникли в глубокой древности, когда возникла необходимость счёта.

Операции, которые можно проводить с натуральными числами: сложение, умножение, не всегда выполнимы операции вычитания, деления.

Целые числа (Z), так же возникли в глубокой древности. А в математический обиход их ввели Михаэль Штифель (1487—1567) в книге

«Полная арифметика» (1544), и Николя Шюке (1445—1500).

Операции, которые можно проводить с отрицательными числами: сложение, вычитание, умножение; обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком, но нельзя извлекать из под корня.

Затем необходимость выполнения деления привела к понятиям дробных чисел. Рациональные числа (Q). Впервые в Европе термин дроби употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). А десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске.

Операции, которые можно проводить с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, но не во всех случаях можно извлекать из под корня.

Рациональных чисел оказывается недостаточно для измерения длин отрезков. Чтобы любому отрезку можно было приписать длину, необходимо

добавить к рациональным числам числа иррациональные. Ограничившись рассмотрением только рациональных чисел, не возможно было бы решить уравнение x²-2=0, так как в множестве рациональных чисел это уравнение не имеет решений.

Множество действительных чисел (R) - в это множество входят рациональные и иррациональные числа. Все выше перечисленные операции выполнимы во множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Но и действительных чисел оказывается недостаточно для решения алгебраических уравнений. Ведь на множестве действительных чисел не имеет решений квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, в том числе простейшие квадратные уравнения с натуральными коэффициентами, например, x² + 1=0, x²+x+1=0. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появление новых чисел, отличных от действительных, их назвали комплексными числами (С).

Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, так как может создать представление о комплексных числах как о чем-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в 16 веке, они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: «Комплексное число - это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и не бытием». Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа».