Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2021-12-12 | 32 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Выведем формулы для вычисления дифференциалов высших порядков:
, то есть
.
Аналогично вычисляется дифференциал любого −го порядка:
.
Дифференциалы сложной функции
Приведенные выше формулы справедливы только, если независимая переменная. Теперь рассмотрим случай, когда , где зависимая переменная. Тогда функция сложная функция аргумента и для ее дифференциала получим:
.
Форма дифференциала первого порядка имеет один и тот же вид (то есть инвариантна ) и в случае, когда зависимое переменное, и в случае, когда независимое переменное.
Теоремы о среднем
Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши
Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение. В их формулировке фигурирует некоторая «средняя» точка, поэтому их называют теоремами о среднем. Иногда, в силу их значимости, эти теоремы называют основными теоремами дифференциального исчисления.
Теорема Ролля. Пусть функция
1) непрерывна на отрезке 2) дифференцируема на интервале ,
3) на концах отрезка принимает равные значения .
Тогда найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале . Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что
или .
.
Следствие. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Теорема Коши. Пусть функции и
1) непрерывны на отрезке 2) дифференцируемы на интервале ,
3) на . Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что
|
.
.
9.2.Правило Лопиталя
Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида или с использованием производных и выводится с помощью рассмотренной теоремы Коши.
Теорема Лопиталя. Пусть 1) в выколотой окрестности точки функции дифференцируемы и 2) существует .
Тогда, в случае неопределенности или , справедливо правило Лопиталя:
.
Формула Тейлора
Во многих прикладных задачах требуется заменить сложную функцию многочленом , близким к в окрестности точки ,в том смысле, что
.
Введем ряд понятий.
1). Многочлен , удовлетворяющий условию (9.3), называется многочленом Тейлора −го порядка функции в окрестности точки .
2). Разность между функцией и её многочленом Тейлора обозначают : .
3). Формула , где −многочлен Тейлора, называется формулой Тейлора n -го порядка для функции , называется остаточным членом формулы Тейлора.
Теорема 9.1 (о виде многочлена Тейлора).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда многочлен Тейлора го порядка функции имеет вид:
.
Используя вид многочлена Тейлора, запишем формулу Тейлора − го порядка:
.
При формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:
Рассмотрим вид остаточного члена формулы Тейлора.
Теорема 9.2(об остаточном члене в форме Пеано).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора имеет вид:
при .
.
Эту формулу будем называть асимптотическим разложением го порядка функции в окрестности точки .
Теорема 9.3 (об остаточном члене в форме Лагранжа).
Пусть функция дифференцируема раз в окрестности точки . Тогда остаточный член формулы Тейлора в этой окрестности можно записать в форме
, (9.10)
где – некоторая точка между и .
Асимптотические разложения
|
Элементарных функций
.
.
.
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!