Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2021-12-12 | 40 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим на кривой точки и секущую . При движении точки по этой кривой к точке секущая займет свое предельное положение .
Касательной к данной кривой в точке называется прямая , являющаяся предельным положением секущей при стремлении точки по кривой к точке .
Найдем угловой коэффициент невертикальной секущей и угловой коэффициент невертикальной касательной:
,
.
Из этого равенства вытекает геометрический смысл производной.
Значение производной равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой в точке с абсциссой : .
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной к кривой, называется нормалью к этой кривой. Угловой коэффициент нормали
.
Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:
, где .
Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:
.
Физический смысл производной заключается в том, что значение производной есть скорость изменения функции в точке . Поэтому
1) если задан закон движения материальной точки по прямой , то скорость движения , а ускорение есть «скорость изменения скорости», то есть ;
2) если есть количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время , то есть сила тока;
3) если есть количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время , то есть скорость химической реакции.
Дифференцируемые функции. Дифференциал
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представимо в виде: , где не зависит от , а функция является бесконечно малой при
Линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается , то есть .
|
Справедлива следующая теорема.
Теорема 8.1. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда существует конечная производная ; при этом .
, .
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
Если функция дифференцируема, то она непрерывна. |
Действительно, для дифференцируемой функции . Отсюда следует, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть, функция непрерывна.
Непрерывная функция может не быть дифференцируемой. |
Производная суммы, произведения, частного
Отыскание производных непосредственно по определению неудобно и сложно. Для этого существуют ряд правил и формул.
Теорема 8.2. Пусть функции − дифференцируемы. Тогда сумма, разность, произведение этих функций, а при и частное, будут дифференцируемы, причем
, , .
Дифференциалы суммы, произведения, частного дифференцируемых функций вычисляются по формулам:
, , .
Производная сложной функции
Пусть , а . Тогда сложная функция с промежуточным аргументом , независимым аргументом .
Теорема 8.3. Пусть функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке и для ее производной справедлива формула: .
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!