Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2021-04-18 | 83 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим метод Эйлера - линейное приближение, использующее первые два члена ряда Тейлора. Здесь искомая интегральная кривая аппроксимируется ломаной линией. Если шаг h достаточно мал, то интеграл в формуле можно вычислить используя теорему о среднем, т.е. вынося подынтегральную функцию из- под знака интеграла средним значением.
В методе Эйлера подынтегральная функция выносится при нижнем пределе интегрирования: . Это приближение геометрически соответствует движению от точки x к точке х+h по касательной к кривой y(x) в точке х. Запишем расчетные формулы метода Эйлера:
yk+1=yk+f(xk,yk)h, xk=xk-1+h
y(x0)=y0, yk=y(xk)
В усовершенствованном методе Эйлера- Коши в первом приближении полагается:
а во втором
Погрешность метода Эйлера определяется остаточным членом ряда Тейлора
т.е. R~h2 на каждом шаге вычислений. Для обеспечения сходимости шаг h следует выбирать достаточно малым. Для метода Эйлера- Коши погрешность имеет порядок h2.
Рассмотрим метод Рунге и Кутта. В основе получения вычислительных схем этого метода лежит разложение функции y(x) в ряд Тейлора с последующим преобразованием отрезка ряда к виду, не содержащему производных. На шаге h производная dy/dx=f(x,y) аппроксимируется параболой второго порядка. Здесь функция D(x,h) определяется формулой парабол Симпсона (формула Ньютона - Котеса для трех узлов):
Рассмотрим дифференциальное уравнение при начальном условии (хА,уА). Выполним следующие операции:
1) По известным начальным условиям (хА,уА) определим значение производной в начальной точке А: .
Из начальной точки А проведем прямую (рис 1.2.)
и отметим значение ее ординаты в середине шага интегрирования h (точка В с координатами
|
).
Рис 1.2.
2) Найдем значение производной по формуле в точке В: и проведем из точки А прямую . Отметим значение ординаты этой прямой в середине шага интегрирования h (точка С с координатами ).
3) По уравнению найдем значение производной в точке С: и проведем из точки А прямую . Отметим значение ординаты этой прямой в конце шага интегрирования h (точка D с координатами ).
4) По уравнению найдем значение производной в точке D: .
В результате построений найдем значение производных в точках А, В,С и D. Отложим эти значения на графике рис 1.3. Как видно из графика, в точке с абсциссой получены два значения производной вместо одного. Это следствие приближенности метода. Примем в этой точке среднее значение производной: . Отложив на графике (рис 1.3.) ординату , получим точку М.
Рис 1.3.
Будем считать, что кривая, изображающая зависимость должна проходить через точки A,M и D. Проведем через эти три точки параболу, уравнение которой:
.
Значения коэффициентов a,b и с выбираются из условия прохождения параболы через точки А, М, и D. Коэффициент . Из уравнения параболы имеем систему:
Решив эти уравнения, найдем:
Проинтегрируем теперь уравнение параболы в пределах от x=xA до x=xA+h. Значение этого интеграла является приращением искомой функции y при изменении х на величину h. Таким образом Подставив сюда полученные выше выражения для a,b,c, после приведения подобных членов для общего случая () получим:
Как видно, приращение искомой функции на шаге h при помощи описанных построений удалось представить через значения первых производных функции в четырех точках, лежащих в пределах шага интегрирования h.
Запишем расчетные формулы метода Рунге- Кутта:
При условии существования у функции производных четвертого порядка погрешность метода является величиной порядка h5.
Для системы дифференциальных уравнений первого порядка данный алгоритм выполняется для каждого уравнения системы параллельно.
|
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!