Функции нескольких переменных.

Частные производные функции нескольких переменных, их геометрический смысл. Частные производные высших порядков.

Полное приращение функции. Полный дифференциал и применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.

Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование неявной функции. Уравнение касательной плоскости и координаты нормального вектора к поверхности.

Экстремумы функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Метод наименьших квадратов.

Скалярные и векторные поля. Поверхности и линии уровня. Производная по направлению. Градиент функции.

12. Кратные и криволинейные интегралы.

Двойной интеграл и его определение. Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем значении. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной и по произвольной областям, сведение его к повторному интегралу. Переход к полярной системе координат.

Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

Понятие о тройном интеграле.

Определение криволинейного интеграла по координатам. Криволинейные интегралы по длине дуги. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

13. Поверхностный интеграл.

Интеграл по поверхности. Понятия о потоке векторного поля. Дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса.

Задачи для самостоятельных работ №5.

В задачах 401-405 дана функция z = f (x; y). Найти: 1) полный дифференциал ; 2) частные производные второго порядка ; 3) Смешанные частные производные .

 

401.                      402.                      403.

404.           405.

406. Дана функция . Показать, что .

407. Дана функция . Показать, что .

 

408. Дана функция . Показать, что .

 

409. Дана функция . Показать, что .                                                                                                                                                    

410.    Дана функция . Показать, что .

В задачах 411-415 дано уравнение поверхности в неявном виде F (x; y; z)=0. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к данной поверхности в точке M (x ₀; y ₀; z ₀) если абсцисса х₀ и ордината у₀ этой точки заданы.

411.

412.

413.

414.

415.

 

В задачах 416-420 дана функция z = f (x; y; z) и точки P ₁ (x ₁; у₁) и P ₂ (x ₂; y ₂;). Найти приближенное значение данной функции в точке P ₂ (x ₂; y ₂;), исходя из её точного значения в точке P ₁ (x ₁; у₁) и заменяя приращение , соответствующим дифференциалом dz, т. е. применяя формулу

416.

417.

418.

419.

420.

 

В задачах 421-430 найти наименьшее и наибольшее значения функции z = f (x; y) в заданной замкнутой области.

421.  в квадрате

422.  в треугольнике, ограниченном осями координат Ох и Оу и        прямой у=4-х.    

423.  в квадрате

424.  в квадрате .

425.  в треугольнике, ограниченном осями координат Ох и Оу и прямой х+у=3.

426.  в области, ограниченной параболой у=х² прямой у=4 и осью Оу (х>0).

427.  в прямоугольнике

428.  в области, ограниченной параболой у=4-х²  и осью Ох.

429.  в треугольнике, ограниченном прямыми у=0, х=2, у=х+2.

430.  в прямоугольнике

 

В задачах 431-440 данную функцию z = f (x; y) исследовать на экстремум.

431. .  432. .

433. . 434. .

435. . 436. .

437. .      438. .

439. . 440. .

 

В задачах 441-460 требуется: 1) построить на плоскости хОу область интегрирования заданного интеграла; 2) изменить порядок интегрирования и вычислить площадь области при заданном и измененном порядках интегрирования.

441.                     442.                       443.

444.                     445.                       446.

447.                      448.                       449.

450.                     451.                      452.

453.                    454.                        455.

456.                    457.                         458.

459.                    460.      

В задачах 461- 480 вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Данное тело и область интегрирования изобразить на чертеже.

461.

462.

463.

464.

465.

466.

467.

468.

469.

470.

471.

472.

473.

474.

475.

476.

477.

478.

479.

480.

В задачах 481-490 даны криволинейный интеграл  и четыре точки плоскости . Вычислить данный интеграл от точки О до точки С по трём различным путям: 1) по ломаной ОАС; 2) по ломаной ОВС; 3) по дуге ОС параболы . Полученные результаты сравнить и объяснить их совпадение.

481.                   482.

483.                484.

485.           486.

487.                488.

489.                   490.

 

В задачах 491-500 найти функцию U (x, y) по её полному дифференциалу dU.

491. .

492. .

493. .

494. .

495. .

496. .

497. .

498. .

499. .

500. .

 

3.6. Самостоятельная работа №6.

14. Дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятия об общем и частном решении. Интегральные кривые. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения второго порядка. Понятия об особом решении. Поле направлений дифференциального уравнения. Изоклины.

Понятие о дифференциальных уравнениях высшего порядка, общее и частное решения. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка. Линейно- независимые решения. Структура общего решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

Задачи для самостоятельных работ № 6.

В задачах 501-520 найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у=у₀ при х=х₀.

501.

502.

503.

504.

505.

506.

507.

508.

509.

510.

511.

512.

513.

514.

515.

516.

517.

518.

519.

520.

 

В задачах 521-540 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

521.

522.

523.

524.

525.

526.

527.

528.

529.

230.

531.

532.

533.

534.

535.

536.

537.

538.

539.

540.

 

В задачах 541-560 даны линейные, неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

 

541.

542.

543.

544.

545.

546.

547.

548.

549.

550.

551.

552.

553.

554.

555.

556.

557.

558.

559.

560.

 

В задачах 561-570 требуется решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие указанным начальным условиям.

561.

562.

563.

564.

565.

566.

567.

568.

569.

570.

571. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;3) и обладающей тем свойством, что отрезок любой касательной к кривой, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. Построить кривую.

572. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;4),если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.

573. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания. Построить кривую.

574. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;2) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью Ох делится пополам в точке пересечения с осью Оу. Построить кривую.

575. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(-1;1), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен квадрату ординаты точки касания. Построить кривую.

576. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(1;2), если поднормаль в каждой точке равна 2. Построить кривую.

577. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;-4), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой в два раза меньше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат. Построить кривую.

578. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;-4), если начальная ордината касательной, проведенной в любой точке кривой, равна кубу абсциссы точки касания. Построить кривую.

579. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(0;3), если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой её точке меньше ординаты точки касания на 2. Построить кривую.

580. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А(2;2), если длина отрезка касательной между точкой касания и осью Ох равна длине отрезка между точкой касания и началом координат. Построить кривую.

 

3.7. Самостоятельная работа №7.

15. Ряды.

Числовые ряды; сходимость и расходимость. Основные свойства сходящихся рядов. Необходимые условия сходимости рядов.

Признаки сходимости, основанные на сравнении рядов. Признак Даламбера. Интегральный признак. Признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства суммы степенного ряда; непрерывность, возможность почленного дифференцирования и интегрирования.

Ряд Тейлора и Маклорена. Примеры разложения в степенной ряд элементарных функций. Биномиальный ряд. Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям, вычисление определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений.

Тригонометрические ряды Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Формулировка достаточных условий сходимости рядов Фурье. Интеграл Фурье.

Задачи для самостоятельных работ № 7.

В задачах 581-590 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.

581. .            582. .          583. .

584. .       585. .                586. .

587. .       588. .              589. .

590. .

 

В задачах 591-600 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.

591.  592. . 593. .                                                594. .                           595.             596. .

597. .                   598. .          599. .                                      600. .

 

В задачах 601-620 найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.

601. .                             602. .

603. .                            604. .

605. .                            606. .

607. .                            608. .

609. .                            610. .

611. .                                  612. .

613. .                          614. .

615.  .                                 616. .

617.  .                                    618. .

619.  .                                     620. .

 

В задачах 620-640 вычислить приближенно определенный интеграл, используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд и почленное интегрирование полученного ряда. Результат дать с точностью до 0,001.

621. .                                      622. .

623. .                                  624. .

625. .                                    626. .

627. .                                            628. .

629. .                                          630. .

631. .                                  632. .

633. .                                           634. .

635. .                                              636. .

637. .                                          638. .

639. .                                           640. .

В задачах 641-660 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции x = f (x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.

 

641.       642.

643. 644.

645.    646.

647.        648.

649.     650.

651.   652.

653.   654.

655. 656.

657.       658.

659.               660.

 

В задачах 661-680 представить периодическую функцию f (x), заданную на полупериоде , рядом Фурье по синусам или по косинусам. Построить график функции и график суммы полученного ряда Фурье.

661. по косинусам.

662. по синусам.

663. по косинусам.

664. по синусам.

665. по синусам.

666. по косинусам.

667. по косинусам.

668. по синусам.

669. по косинусам.

670. по синусам.

671. по синусам.

672. по косинусам.

673. по синусам.

674. по косинусам.

675. по синусам.

676. по косинусам.

677. по синусам.

678. по косинусам.

679. по синусам.

680. по косинусам.

Самостоятельная работа №8.

16. Основы теории вероятностей.

Понятие вероятности события. Относительная частота события. Классификация событий. Сумма событий. Теорема о вероятности суммы несовместных событий и совместных событий. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема о вероятности произведения событий. Формула полной вероятности.

Теорема о повторении опытов. Наивероятнейшая частота при повторении опытов.

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Виды законов распределения: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.

Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и среднее арифметическое, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, мода и медиана.

Законы распределения случайной величины: закон равномерной плотности, закон равнобедренного треугольника, распределение Пуассона, биномиальное распределение.

17. Элементы теории векторного поля.

Скалярные и векторные поля. Поверхность уровня. Векторные линии.

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона.

Поток векторного поля.

Циркуляция векторного поля.

Потенциальные и соленоидальные поля.

           Задачи для контрольных работ №8.

В задачах 681-685 использовать формулу Бернулли для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

681. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не более двух.

682. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.

683. Принимая рождение девочки и мальчика одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.

684. В некотором водоеме карпы составляют 80%. Найти вероятность того, что из 5 выловленных в этом водоеме рыб окажется: а) 4 карпа; б) не менее 4 карпов.

685. Прибор состоит из 4 узлов. Вероятность безотказной работы в течении смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что за смену откажут: а) 2 узла; б) не менее 2 узлов

 

В задачах 686-690 использовать асимптотическую формулу Пуассона для определения вероятностей появления события при повторении испытаний.

686. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

687. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных.

688. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.

689. Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 неправильно брошюрованных книг.

690. Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0,004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий остается не менее 3 бактерий.

 

В задачах 691-700 дано, что в тракторном заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна p. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет ровно m штук.

691. n=400, p=0,8, m=330.          692. n=400, p=0,9, m=372.

693. n=300, p=0,75, m=240.           694. n=600,    p=0,6, m=375.

695. n=625, p=0,64, m=370.           696. n=192, p=0,75, m=150.

697. n=225, p=0,8, m=165             698. n=100, p=0,9, m=96.

699. n=150, p=0,6, m=75.              700. n=625, p=0,8, m=510.

В задачах 701-710 дана вероятность p появления события A в каждом из n независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие A появится не менее m ₁ раз и не более m ₂ раза.

701. n=150,  p=0,6,  m₁=78,  m₂=96.

702. n=100, p=0,8,  m₁=72,  m₂=84.

703. n=400, p=0,9,  m₁=345, m₂=372.                      

704. n=600, p=0,4,  m₁=210, m₂=252.

705. n=300, p=0,75, m₁=210,  m₂=225.                       

706. n=625, p=0,36, m₁=225, m₂=255.

707. n=400, p=0,5,  m₁=190, m₂=215.                       

708. n=225, p=0,2,  m₁=45,  m₂=60.

709. n=300, p=0,25, m₁=75,       m₂=90.                         

710. n=625, p=0,64, m₁=400, m₂=430.

В задачах 711-730 задан закон распределения случайной величины Х. Найти:         1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D (X); 3) среднее квадратичное отклонение .

711.   

Х	23	25	28	29
Р	0,3	0,2	0,4	0,1

 

712.

Х	23	25	28	29
р	0,3	0,2	0,4	0,1

 

713.

Х	17	21	25	27
р	0,2	0,4	0,3	0,1

 

714.

Х	24	26	28	30
р	0,2	0,2	0,5	0,1

 

715.

Х	12	16	19	21
р	0,1	0,5	0,3	0,1

 

716.

Х	25	27	30	32
р	0,2	0,4	0,3	0,1

 

717.

Х	30	32	35	40
р	0,1	0,5	0,2	0,2

 

718.

Х	12	14	16	20
р	0,1	0,2	0,5	0,2

 

719.

Х	60	64	67	70
р	0,1	0,3	0,4	0,2

 

720.

Х	45	47	50	52
р	0,2	0,4	0,3	0,1

 

 

721.

Х	46	49	51	55
р	0,2	0,3	0,1	0,4

722.

Х	18	22	23	26
р	0,2	0,3	0,4	0,1

 

723.

Х	78	80	84	85
р	0,2	0,3	0,1	0,4

 

724.

Х	37	41	43	45
р	0,2	0,1	0,5	0,2

 

725.

Х	25	28	30	33
р	0,1	0,2	0,4	0,3

 

726.

Х	56	58	60	64
р	0,2	0,3	0,4	0,1

 

727.

Х	31	34	37	40
р	0,3	0,5	0,1	0,1

 

728.

Х	17	20	23	27
р	0,1	0,4	0,3	0,2

 

729.

Х	28	32	34	36
р	0,1	0,2	0,2	0,5

 

730.

Х	35	39	42	46
р	0,1	0,3	0,2	0,4

В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение - мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше мм и меньше   мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на мм. Значения даны.

731.

732.

733.

734.

735.

736.

737.

738.

739.

740.

 

В задачах 741-750 вычислить поток векторного поля  через треугольник , вырезанный из плоскости  координатными плоскостями, в том направлении нормали к плоскости, которая образует с осью Oz острый угол.

741.

742.

743.

744.

745.

746.

747.  

748.   

749.

750.   .

 

В задачах 751-760 найти дивергенцию векторного поля