Вывод расчетного уравнения для решения методом

              контурных расходов

 

Рассмотрим элемент трубопроводной системы, состоящий из четырех участков, образующих замкнутый контур (рисунок 8.2). Предполагаемые направления потоков на участках показаны на рисунке стрелками.

В данный контур входят четыре узла и четыре участка. Рассмотрим, как можно определить режим работы участков, используя метод Ньютона.

Если обойти последовательно все участки контура, начиная с узла А и заканчивая им же, то сумма изменений напоров на участках контура теоретически должна равняться нулю.

Н_А – Н₁ –  Н₂ + Н₃ – Н₄     = Н_А                 (8.17)

+ Н₁ +  Н₂ – Н₃ + Н₄ = 0                        (8.17а)

  Σ Н _i = 0,                                     (8.17б)

где i – номер участка.

 

Рисунок 8.2 – Расчетная схема контура трубопроводной сети

 

При подсчете потерь напоров на участках знак «плюс» принимают для участков, направление расходов на которых совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус», если направление расхода противоположное. Таким образом, суммирование следует производить с учетом знака.

На самом деле, когда задаются начальным приближением, расходы на участках определены с некоторой погрешностью, и суммирование потерь напоров дает значение, отличное от нуля.

При квадратичном режиме течения потери напора для каждого участка определяются по выражению

Н _i = А _i Q ² _i                                    (8.18)

 

Итоговая невязка напоров в контуре   j равна сумме потерь напора на участках этого контура

ΔН _j   = Σ А _i Q ² _i                            (8.19)

Для того, чтобы баланс напоров стал равен нулю, требуется изменить расходы на участках. При этом необходимо, чтобы суммарный расход в узлах контура не изменился – тогда расход, проходящий через контур в другие участки системы, останется тоже неизменным. Для обеспечения этого условия к расходу каждого участка надо прибавить с нужным знаком одно и то же значение поправки к расходу. Фактически это означает, что в контур вносится некоторый дополнительный поправочный расход  Δ Q_j   в направлении обхода контура или противоположном, в зависимости от знака невязки напоров.

После внесения поправки к расходам потери напора на участке тоже изменятся. Тогда выражение (8.18) для отдельного участка запишется следующим образом

Н _i + ΔН _i   = А _i (Q_i + Δ Q_j)²                (8.20)

 

После возведения в квадрат получим

Н _i + ΔН _i  = А _i (Q²_i + 2 Q_i Δ Q_j + Δ Q²_j )    (8.21)

Пренебрегая значением Δ Q ² _j ввиду большего порядка малости и раскрывая скобки, получим выражение

 

Н _i + ΔН _i  = А _i Q²_i + 2 А _i Q_i Δ Q_j             (8.22)

 

С учетом (8.18) получим

 

ΔН _i  = 2 А _i Q_i Δ Q_j                         (8.23)

 

После внесения поправки к расходам баланс напоров в контуре должен стать нулевым. Для этого сумма изменений потерь напоров на участках должна равняться невязке напоров в контуре

 

Σ Δ Н _i   = Σ Н _i = Σ А _i Q ² _i                            (8.24)

 

С учетом (8.23) получим

Σ А _i Q ² _i = 2 Δ Q_j Σ А _i Q_{i           j}                (8.25)

 

Окончательно получим выражение для поправочного контурного расхода

Δ Q_j  = Σ А _i Q²_i / 2 Σ А _i | Q_i |        (8.26)

 

 Здесь излагается только общий вывод расчетной формулы для увязочного расхода. В реальных расчетах ситуация более сложная. Во-первых расходы в узлах сети не обязательно должны равняться нулю – это условие выполняется только для узла простого разветвления или слияния участков. Для большинства узлов в сетях водоснабжения, теплоснабжения и газоснабжения каждому приписывается некий узловой расход, равный расчетному расходу потребителей, присоединенных к этому узлу. В этом случае сумма расходов на участках узла должна равняться расчетному узловому расходу.

Во-вторых, набор уравнений по контурам должен быть дополнен набором уравнений баланса расходов по узлам, чтобы получить систему, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. Поэтому формирование набора данных в методе контурных расходов является более сложным, и реализуется в виде наборов таблиц (матриц). Желательно, чтобы окончательное формирование системы контуров выполнялось не вручную, а при помощи самой используемой компьютерной программы.

В целом считается, что метод контурных расходов обеспечивает несколько лучшую сходимость, чем метод узловых давлений.

Более подробно о реализации данных методов следует читать в литературе, посвященной этому вопросу.

Лекция 9