Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2021-03-18 | 111 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть - линейный оператор,
– (4.33)
базис пространства , а
– (4.34)
базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора в паре базисов (4.33) и (4.34). Найдем образы векторов базиса (4.33):
, (4.35)
каждый из них разложим по базису (4.34), обозначим координатный столбец вектора в базисе (4.34), , и составим систему
(4.36)
из этих координатных столбцов.
Матрицей линейного оператора в паре базисов (4.33) и (4.34) называется матрица , составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (4.33) в базисе (4.34). Очевидно, эта матрица имеет размеры .
Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства в себя.
Теорема 4.11. Пусть – линейный оператор, A его матрица в паре базисов (4.33) и (4.34). Тогда .
►В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы в некотором базисе. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (4.35) и (4.36) будет одинаковым. Обозначим это число .
Так каккаждый из векторов можно разложить по базису (4.33), то . Следовательно, . Тогда
[теорема 3.5] = =
= [теорема 3.6] = .◄
|
Следствие. Если – изоморфизм, то матрица A –невырождена.
Теорема 4.12. Пусть и – линейные операторы. Тогда , причем если один из операторов – изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.
► Обозначим . Нетрудно убедиться, что – подпространство пространства , и поэтому . Тогда
= ;
= .
Кроме того, если – изоморфизм, то
.
Если же – изоморфизм, то
.◄
Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей – матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.
Линейные формы
Определение.Линейной формой на линейном пространстве над полем называется линейный оператор .
Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы назовем ковекторами и тоже для удобства отметим стрелками, но снизу (например, ).
Рассмотрим -мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис:
. (4.37)
Пусть – произвольный вектор пространства , – линейная форма. Тогда
. (4.38)
Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором не связанных. Обозначим и назовем эти числа компонентами формы в базисе (4.37). Теперь (4.38) можно переписать и так: .
Выберем в ещё один базис
(4.39)
и обозначим компоненты линейной формы в базисе (4.39).Тогда
= = [определение матрицы перехода] = =
= [линейность ] = .
Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.
|
В пространстве линейных форм выберем линейных форм
(4.40)
по следующему принципу:
,
т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы 4.1. Докажем линейную независимость (4.40). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем ее нейтральному элементу.
{(4.40) линейно независима}.
Пусть теперь – произвольная линейная форма, – ее компоненты в базисе (4.40). Обозначим . Тогда
Таким образом, = , следовательно, система (4.40) в пространстве является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (4.37) и (4.40) пространств и называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы в базисе (4.37) пространства – это её координаты во взаимном базисе пространства .
|
|
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!