История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2021-03-18 | 76 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства и называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: .
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1. – рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. – симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью ).
3. { , } – транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – , то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения ).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Теорема 4.8. Изоморфные линейные пространства имеют одинаковые размерности.
►Пусть и пусть – изоморфизм. Выберем в какой-либо базис
(4.27)
и покажем, что система
– (4.28)
базис пространства . Действительно, в силу взаимной однозначности f, единственный такой, что . Тогда, если , то . Значит, (4.28) – система образующих в .
Докажем теперь линейную независимость (4.28).
[линейность f ]
[взаимная однозначность f ] [линейная независимость (4.27)] {(4.28) – линейно независима}.
Таким образом, (4.28) – базис в , а значит, . ◄
|
Теорема 4.9. Все n -мерные линейные пространства над полем Р изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма n- мерное линейное пространство над полем Р.
►а) Докажем, что .
Выберем в какой-либо базис . Тогда : . Обозначим . Очевидно, отображение – взаимно однозначное. Кроме того, , :
:
Поэтому f – линейный оператор, а значит, и изоморфизм. Итак, .
б) Пусть теперь и – n- мерные линейные пространства над одним и тем же полем Р. Тогда
{ и } [симметричность] { и и } [транзитивность] { }.◄
Таким образом, мы показали, что с точки зрения математики единственным n- мерным линейным пространством над полем Р является .
Образ и ядро линейного оператора
Определения. Образом линейного оператора называется подмножество линейного пространства :
.
Ядром линейного оператора называется подмножество линейного пространства :
.
Теорема 4.10. Образ линейного оператора является подпространством пространства , а его ядро – подпространством пространства .
Упражнение. Докажите теорему 4.10.
Размерность подпространства называется рангом оператора и обозначается , а размерность подпространства называется дефектом и обозначается .
Теорема 4.11. Если – линейный оператор, то
. (4.29)
► Обозначим . Так как – подпространство пространства , то . Рассмотрим сначала случай, когда . Выберем в какой-либо базис
. (4.30)
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!