Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2021-03-18 | 71 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть в линейном пространстве задан базис (4.8) и пусть – матрица линейного оператора в этом базисе. Выберем произвольный вектор и положим . Обозначим и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (4.8). Тогда
[(4.3)] [(4.11)] = ,
и
. (4.13)
Равенство (4.13) есть не что иное, как разложение вектора по базису (4.8), а коэффициенты разложения –координаты вектора в этом базисе. В силу единственности координат вектора в данном базисе получаем
. (4.14)
Записав (4.14) по правилу цепочки (), получаем
. (4.15)
Формула (4.14) и задает связь координат вектора и координат его образа при линейном операторе, а (4.15) –ее матричная запись.
Изменение матрицы линейного оператора
При изменении базиса
Теорема 4.2. Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:
(4.16)
и
, (4.17)
и пусть A = и – матрицы линейного оператора в базисах (4.16) и (4.17) соответственно. Тогда
, (4.18)
где Т – матрица перехода от (4.16) к (4.17).
►Чтобы найти матрицу , следует образы векторов базиса (4.17) разложить опять же по этому базису. Имеем
= [определение матрицы перехода] = = [(4.3)] = =
= [(4.11)] = = [свойство 6º § 9 гл. 3] = .
|
Итак,
= . (4.19)
Равенство (4.19) задает разложение вектора по базису (4.17). С другой стороны, по определению матрицы линейного оператора,
. (4.20)
В силу единственности координат вектора в данном базисе из (4.19) и (4.20) получаем равенство
, (4.21)
которое и дает нам связь элементов матриц линейного оператора в различных базисах. Запишем (4.21) по правилу цепочки:
. (4.22)
Так как (см. замечание в § 9 гл. 3), то из (4.22) получаем (4.18).◄
Определение. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица Т такая, что .
Таким образом, мы видим, что матрицы линейного оператора в различных базисах подобны.
Лемма 4.1. 1. Подобные матрицы имеют одинаковые определители.
2. Если невырожденные квадратные матрицы подобны, то обратные к ним тоже подобны, причем подобие осуществляется при помощи одной и той же матрицы,
►1. .
2. Пусть матрицы и подобны и пусть подобие осуществляется при помощи матрицы . Покажем, что матрица , подобная матрице , является обратной к . Действительно, .◄
Определение. Определителем линейного оператора называется определитель его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе пространства .
Геометрический смысл определителя
Линейного оператора
Пусть – линейный оператор, – его матрица в некотором ортонормированном базисе , и пусть – некомпланарные векторы, а – их образы. Обозначим и координатные столбцы в выбранном базисе векторов и соответственно, , – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Тогда, учитывая (4.15), получаем
|
[(4.15) § 3] [§ 5 гл. 1] =
[§ 6 гл. 1] . (4.23)
Рассмотрим теперь пространство . Выберем в нем точку и линейно независимых векторов , . Параллелепипедом в ( -мерным параллелепипедом) будем называть множество точек в
. (4.24)
Обозначим координатный столбец вектора в каноническом базисе. По аналогии с трехмерным пространством, объемом -мерного параллелепипеда (4.24) будем называть число
.
Можно доказать, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному это число не меняется, т.е. определение объема параллелепипеда является корректным.
Так же, как и для трехмерного пространства, для пространства доказывается равенство (4.23).
Вывод: из формулы (4.23) на основании леммы 4.1 вытекает, что коэффициент изменения объема параллелепипеда при линейном операторе равен модулю определителя этого оператора.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!