Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2021-03-18 | 65 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1º. Линейный оператор переводит нейтральный элемент пространства в нейтральный элемент пространства .
►Пусть – линейный оператор. Тогда .◄
2º. При линейном операторе линейно зависимые векторы пространства переходят в линейно зависимые векторы пространства .
►Пусть – линейно зависимые векторы. Это значит, что существуют числа , не все равные нулю, такие, что
. (4.7)
Подействуем линейным оператором на обе части равенства (4.7). Тогда
(4.7) [(4.3) и 1º]
.
Так как среди чисел есть отличные от нуля, то система { } линейно зависима.◄
Упражнение. Верно ли утверждение: при линейном операторе линейно независимые векторы переходят в линейно независимые?
Матрица линейного оператора
Определение матрицы линейного оператора
Пусть в линейном пространстве над полем задан базис
(4.8)
и пусть – линейный оператор (читается так: в себя). Построим систему векторов
(). (4.9)
Каждый из векторов системы (4.9) можно разложить по базису (4.8):
(4.10)
Сокращенно система (4.10) записывается одним равенством:
. (4.11)
Расположим числа в матрицу А по нашей договоренности: верхний индекс обозначает номер строки, а нижний – номер столбца:
|
Заметим, что столбцы полученной матрицы А являются координатными столбцами образов векторов базиса (4.8) в том же базисе. Обозначим
[ ] = .
Равенство (4.11) можно переписать и так: , откуда, руководствуясь правилом цепочки, (4.11) записываем в матричном виде:
. (4.12)
Матрицей линейного оператора в некотором базисе называется матрица А, столбцами которой являются координатные столбцы образов базисных векторов в том же базисе. Это матрица , элементы которой удовлетворяют системе равенств (4.10) или (4.11), а сама матрица удовлетворяет матричному равенству (4.12).
Примеры
1. Матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица; матрицей тождественного оператора также в любом базисе является матрица единичная.
2. Пусть . Составим матрицу оператора проектирования на ось O x в базисе . Для этого находим образы базисных векторов и разлагаем их по базису:
.
3. Составим матрицу оператора поворота плоскости на угол (см. § 2) в базисе . Из рис. 4.5 и 4.6 видно, что
Тогда
.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Итак, если в пространстве задан какой-либо базис, то каждому линейному оператору можно поставить в соответствие его матрицу в этом базисе, т. е. квадратную матрицу A n- го порядка, причем эта матрица определяется однозначно.
Пусть теперь задана квадратная матрица А с элементами из поля P. Обозначим вектор, координатный столбец которого в базисе (4.8) совпадает с i -м столбцом матрицы А. Получим упорядоченную систему векторов
()
Согласно теореме 4.1, существует единственный линейный оператор такой, что . По определению матрица этого оператора в базисе (4.8) совпадает с А.
Обозначим – множество всех линейных операторов линейного пространства над полем Р в себя. Из вышесказанного вытекает: если в задан базис, то определяется отображение
|
,
которое ставит в соответствие каждому линейному оператору его матрицу в этом базисе, причем это отображение взаимно однозначно. Это дает возможность в конечномерных линейных пространствах линейные операторы изучать с помощью их матриц.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!