То значение переменной, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения или решением уравнения.

Так же учащимся сообщается, как выполнить проверку при решении уравнения.

В начальных классах простейшие уравнения решают:

1. способом подбора

 2. на основе зависимости между компонентами и результатом действий.

В основе способа подбора лежит трактовка понятия «уравнения», как равенства, содержащего переменную. При одних значениях переменной уравнение может обращаться в истинное числовое равенство, при других – нет. То значение переменной, при которой уравнение обращается в истинное числовое равенство, называют корнем уравнения или решением уравнения.

Решение можно рассматривать в двух смыслах:

1) как корень уравнения;

2) как процесс решения.

При способе подбора решение уравнения записывают так:

Х+4=9                           (подбор начинают с единицы)

1+4=5, 5<9

2+4=6, 6<9

3+4=7, 7<9

4+4=8, 8<9

5+4=9, 9=9

Х=5      

Если рассматривать уравнение как истинное равенство, в котором есть неизвестное число, то в этом случае уравнение решают на основе зависимости между компонентами и результатом действий. Например:

Х +4=9   Х - это неизвестное слагаемое. Чтобы его найти…

Х=9 – 4

Х=5

5+4=9    Проверка: подставляем найденное значение вместо Х.

 9=9

В 4-м классе дети решают уравнения на  основе взаимосвязей между компонентами и результатами действий:

х + 27 = 52 - 12,

729 – х = 217,

х – 137 = 500 – 140

Связь между числами при сложении и вычитании (М4М ч.1 с.62)

          

                                      (М4М ч.1 с.63)

              

Связь между числами при умножении и делении (М4М ч.1 с.80)

            

             

            

           

 

 

         

 

 

3 этап. Решение задач алгебраическим способом, т.е. с помощью уравнения.

На подготовительном этапе, начиная с 1 класса детей знакомят с понятием «задача», из чего она состоит, учатся решать простые задачи, раскрывающие конкретный смысл действий сложения и вычитания:

 - раскрывающие смысл действий сложения и вычитания; 

- задачи на нахождение числа, которое на несколько единиц больше (меньше)

данного.                           

               (М1М, ч.1 с.88)                                                (М1М, ч.2 с.10)

                                 

                              

                                           (М1М, ч.2 с.60)

          

                                              (М1М, ч.2 с.62)

                            

 

                 

 

                                    

                  

 

  Во 2-м классе дети учатся решать задачи в 1-2 действия на сложение и вычитание и простые задачи:

а) раскрывающие смысл действий сложения, вычитания, умножения и деления;

б) использующие понятия «увеличить в (на)...», «уменьшить в (на)...»;

в) на разностное и кратное сравнение.

                                           (М2М, ч.1 с. 26)

                          

                              

                       

                 

                                     

         Использование уравнений при решении текстовых задач.

Как только детям ввели понятие «уравнение», можно начинать решать задачи алгебраическим методом. Работа над задачей состоит из нескольких этапов. Каждый этап требует своего методического решения. В процессе составления задач ученики начинают осознавать не только задачную ситуацию, не только связи между величинами, но и сам процесс решения задачи.

На первом этапе учитель должен познакомить учащихся с понятием «сюжетный смысл выражения», научить составлять всевозможные выражения по тексту задачи, определять их сюжетный смысл. Это можно сделать через следующую систему упражнений:

Дать текст с числами. Составить по этому тексту несколько выражений, записать их смысл.

Дать текст. Учитель составляет по этому тексту выражения, а ученики объясняют их смысл по тексту.

Предложить задание, подобное предыдущему, но среди выражений должны быть такие, которые не имеют сюжетного смысла по данному тексту.

По предложенному тексту с числами дети сами составляют выражения и определяют их смысл. В заключение находят выражения с одинаковым сюжетным смыслом.

Дать задачу, показать способ обозначения величины, которую требуется найти в вопросе задачи через х, показать способ составления выражений по задаче с использованием этой неизвестной величины как с известной. Определить сюжетный смысл выражений по тексту задачи.

По предложенному тексту учитель показывает сюжетный смысл одного из выражений. Детям предлагается составить выражение с тем же сюжетным смыслом.

                     Алгоритм решения задачи алгебраическим методом.

1. Прочитать задачу и проанализировать её содержание.

2. Составить условие задачи.

3. Выбор неизвестного, которое целесообразно обозначить буквой.

4. Составить уравнение по данным задачи.

5. Решить уравнение.

5. Записать ответ к задаче.

 

Сущность алгебраического способа можно показать на решении следующей задачи:

 «Когда из бочки взяли 5 литров воды, в ней осталось ещё 25литров. Сколько было в бочке воды?»

Нам известно, что из бочки взяли 5 литров воды, и осталось ещё 25 литров. Сколько в бочке было воды? Нам не неизвестно. Можно это неизвестное выразить буквой Х (литров воды было в бочке).

Можно записать в виде уравнения:

х – 5 = 25

Решим получившееся уравнение:

х = 25+ 5

х = 30 (всего было литров воды в бочке)

Давайте проверим, правильно ли мы нашли Х

30 – 5 = 25

25 = 25

При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения                                     

      В 3-м классе – продолжают учиться решать простые задачи в 1–3 действия на все арифметические действия алгебраическим способом (с опорой на схемы, таблицы, краткие записи и другие модели).

                      

Данную задачу можно решить с помощью уравнения: х – 50 = 27

                                        

   В 4-м классе дети учатся решать простые и составные задачи, раскрывающие смысл арифметических действий, отношения между числами и зависимость между группами величин (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние; производительность труда, время работы, работа);

- решать задачи, связанные с движением двух объектов: навстречу и в противоположных направлениях;

- решать задачи в 2–4 действия на все арифметические действия арифметическим способом (с опорой на схемы, таблицы, краткие записи и другие модели).

                                           

     

 

                                 

               

                   

            Изучение данной темы по программе Н.Б. Истоминой.

Ознакомление детей начальных классов с уравнением и его решением.

   По программе Н.Б. Истоминой приступают к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений

По данной программеизучают не только простые, но и осложненные (в два и более действий).  В 4 классе (М4И ч.2 с.86) изучают уравнения в два действия. Например:                           

(3+Х)•5=50 - неизвестен первый множитель (3+Х). Чтобы найти первый

                  множитель, надо произведение разделить на второй множитель.

3+Х=50:5

3+Х=10   - неизвестно второе слагаемое, значит надо из суммы вычесть

                   первое слагаемое.

Х=10-3

Х=7                

__________

(3+7)•5=50

   50=50

Главное объяснить учащимся, что в этом случае рассуждение надо начинать с последнего действия в левой части уравнения. М4И ч.2 с.86.

Примеры заданий на решения уравнений:

Дано предложение: «Число 260 уменьшили на несколько единиц и получили 232». Выбери запись этого предложения уравнением.

1. 260-х=232

2. Х-260=232

3. 232+х=260

№5. Выбери уравнение, корень которого равен 100.

1. Х:10=1000

2. 200∙х=20∙100

3. (220+122)+х=442

№ 9. Выбери уравнение, которое соответствует схеме.

 

 2160

Х 540

1)х-540=2160

2)540+х=2160

3)540∙х=2160

Другая точка зрения — приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

Автор данного пособия разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем, что для осознания взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий необходимо опираться на предметную деятельность, а овладение терминологией и правилами распределить во времени и связать по возможности с изучением других вопросов курса.

В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти путем действий по образцу, сопровождая их большим количеством тренировочных однообразных упражнений. Это приводит к тому, что, решая уравнения, учащиеся часто руководствуются не общим способом действия (правилом), а внешними признаками.

Например, предложив детям решить уравнение 8+х=6, мы довольно часто получаем ответ: х=8-6, который ребята обосновывают так: «Здесь знак «+», значит, надо вычитать, я из большего числа вычитаю меньшее». Ясно, что дети ориентируются не на существенные признаки данного равенства, а на числа 8 и 6. А так как младший школьник может вычитать только меньшее число из большего, то он и оценивает данное равенство с этой точки зрения, не пытаясь осознать взаимосвязь, которая существует между слагаемыми и значением суммы.

Более позднее изучение уравнений позволяет:

1. Использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия.

Запиши каждое предложение уравнением и реши его.

а) Неизвестное число уменьшили на 708 и получили 1200.

б) Число 1208 уменьшили в несколько раз и получили 302.

в) Неизвестное число увеличили в 7 раз и получили 1449.

Запись таких предложений в виде уравнений обычно не вызывает у детей затруднений, а их решение позволяет повторить не только знания о взаимосвязи компонентов и результатов действий, но и поупражняться в вычислениях.

2. Познакомить учащихся с уравнениями, в которых неизвестный компонент представлен в виде буквенного выражения:

а)5-х-10=290 б)5'(х-10)=290 в) (10838-Х): 342-31 г) 150-х:2=140 При решении усложненных уравнений следует опираться на правила порядка выполнения действий, так как не все ученики могут овладеть способом действия при отсутствии четких ориентиров. Порядок действий расставляется в той части уравнения, где содержится неизвестное (х).

Например, в уравнении 5-л;-10=290 следует сначала определить порядок выполнения действий в левой части уравнения:

5-х-10=290 Расставив порядок выполнения действий, учащиеся выделяют компоненты, относящиеся ко второму действию (в данном случае это вычитание). Неизвестное число находится в уменьшаемом, поэтому для решения уравнения применяем правило: «Если к значению разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое».

Значит, 5'Х=290+10. Заменяем числовые выражения их значениями (в данном случае это 290+10).

Получаем 5*х=300. Применяем правило: «Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель».

Записываем: х=300:5; л=60.

Задание 62. Приведите рассуждения учащихся при решении уравнений б), в), г).

3. Познакомить детей с решением задач способом составления уравнений.

При этом можно возвращаться к тем задачам, которые они решали ранее арифметическим способом. Например, ребята находят в учебнике задачу, которую они уже решали арифметическим способом (учитель называет номер).

На 9 машинах доставили 47700 кг зерна. Сколько зерна могут перевезти 12 таких машин?

Учащимся предлагается задание: «Объясни, как рассуждала Маша, записав эту задачу уравнением: х: 12=47700:9.»

Аналогично организуется деятельность класса с заданием:

Вычисли остаток: 322:37-8 (ост....); 327:47=6 (ост....). Обозначь остатки буквой х.

Объясни, как рассуждали Миша и Маша, записав такие уравнения:

Миша:

8-37+х=322 (322-х):37=8 (322-х):8=37

Маша:

6-47+х=327 (327-JC):47=6 (327-JC): 6=47 Для подготовки учащихся к решению задач способом составления уравнений полезны задания на соотнесение вербальных, предметных, схематических и символических моделей.

Например:

На одной чашке весов дыня и гиря массой 2кг. На другой — гири массой 10кг и 5кг. Весы находятся в равновесии.

Какое уравнение можно составить по данному рисунку, если масса дыни х кг?

Объясни, почему по данной схеме можно составить уравнение: х+40=56+32.

Найди корень уравнения.

 

 

               Решение задач алгебраическим методом

        Алгоритм решения задач в программах идентичный.

  Автор учебников математики для начальной школы Н.Б.Истомина выделяет 4 основных способа решения текстовых задач:

Практический, арифметический, алгебраический, графический.

По некоторым программам (это превышает стандарт) показывают, как уравнение можно использовать при решении задач. Например, В М4И ч.2

предлагается задача: «В классе 25 учеников, из них 10 мальчиков, остальные девочки. Сколько девочек?»    Строим схему.

                                                             25

        10                                                       ?→Х

Затем учитель на схеме заменяет знак «?» буквой «Х» и по схеме составляют все возможные уравнения

10+Х=25               Х=25 – 10            25 – Х=10

Решая каждое из них, мы получаем одно и тоже значение (15). Следовательно, при решении задач с помощью уравнения достаточно составить одно уравнение и решить его. Т.к. это лишь подготовка к средней школе, то данное умение решать задачи с помощью уравнения полностью не отрабатывается.

Далее (М4И ч.2) идут более сложные задания. 

 Например:

Масса трех одинаковых баранов 180 кг. Свинья тяжелее барана на 40 кг. Какова масса свиньи? Решим задачу с помощью уравнения.

 Даны рассуждения Маши и Миши.

 

Пример задачи:

Длины сторон розового прямоугольника 28см и 20 см. Длина жёлтого прямоугольника 40 см. Найдите ширину жёлтого прямоугольника, если площади прямоугольников одинаковые.

Придумывают задачу по схеме и уравнению

Решите уравнение

40∙х=28∙20 (Правая часть –это равенство)

40∙х=560

х=560:40

х=14

Формулируют вывод: площади равны

Оценивают работу в группе по 5 бальной системе

     При решении задач с помощью уравнений у детей часто возникают сложности. Можно использовать следующие методические приемы, помогающие в их решении:

1) дать готовый образец уравнения и попросить прокомментировать (Как сделано в №502)

2) дополни начатое уравнение;

3) исправь ошибки в рассуждении при составлении уравнения (М4И, с.154)

4) выбери правильное уравнение из нескольких предложенных.

Задания на решение задач алгебраическим способом:

1) Реши задачи, составив уравнение:

А) Произведение задуманного числа и числа 8 равно разности чисел 11288 и 2920.

Б) Частное чисел 2082 и 6 равно сумме задуманного числа и числа 48.

2) Реши задачу: «В книге 48 страниц. Даша читала книгу в течение трех дней, по 9 страниц ежедневно. Сколько страниц ей осталось прочитать?»

                                           Вывод

   В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

    Ответ на вопрос: когда целесообразно знакомить детей с уравнением – в первом, во втором или третьем классе, неоднозначен.

        Одна точка зрения - познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий. (Моро М.И.)

    Другая точка зрения – приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений. Н. Б. Истомина разделяет вторую точку зрения. Это обусловлено тем, что для осознания связи между компонентами и результатами действий необходимо опираться на предметную деятельность.

    В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образец и большое количество тренировочных упражнений. Это приводит к тому, что учащиеся, решая уравнения, часто руководствуются не общим способом действий (правилом), а внешними признаками.

Для большинства школьников решение задач является весьма проблемной частью математики.