Бесконечно малые последовательности.

Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью ( в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{ x ₁, x ₂, x ₃,... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение { x_n }.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃,..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

 

]Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,..., 2n,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,..., 2n+1,... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;...; 3,1415926535897932384626433832;...; ;... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.

 

x_n - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. { x_n } или - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

 

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c ×{ x_n } – это последовательность с элементами { c × x_n }, то есть

c × { x ₁, x ₂, x ₃,... }={ c × x ₁, c × x ₂, c × x ₃,... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{ x_n }±{ y_n }={ x_n ± y_n },

или, более подробно,

{ x ₁, x ₂, x ₃,... }±{ y ₁, y ₂, y ₃,... }={ x ₁± y ₁, x ₂± y ₂, x ₃± y ₃,... }.

3. Умножение последовательностей.

{ x_n }×{ y_n }={ x_n × y_n }.

4. Деление последовательностей.

{ x_n }/{ y_n }={ x_n / y_n }.

Естественно, предполагается, что в этом случае все y_n ¹0.

Определение 2.

Последовательность { x_n } называется ограниченной сверху, если .

Последовательность { x_n } называется ограниченной снизу, если .

Последовательность { x_n } называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности { x_n } при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

или .

Подчеркнем, что N зависит от e.

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

Теорема.

Если последовательность { x_n } сходится и ее предел равен a, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел.

Если { x_n } – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью ( в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

{ x ₁, x ₂, x ₃,... }.

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение { x_n }.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

Определение. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,..., n,... ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁, x₂, x₃,..., x_n мы назовем числовой последовательностью или просто последовательностью. Сокращенно последовательность обозначается - {x_n}.

 

]Задание последовательностей

Чтобы понять смысл слов: „по определенному закону“ ниже на примерах показано, как могут задаваться последовательности ("законы" выделены жирным шрифтом):

1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n,... - последовательность натуральных чисел.

2, 4, 6, 8, 10,..., 2n,... - последовательность чётных чисел.

1, 3, 5, 7, 9,..., 2n+1,... - последовательность нечётных чисел.

3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159;...; 3,1415926535897932384626433832;...; ;... - последовательность приближённых значений числа π с увеличивающейся точностью.

В общем виде последовательности задаются в виде функции, являясь результатом их вычисления.

Связь с функцией

Определение. Числовая последовательность — функция от одного натурального аргумента.

 

x_n - члены числовой последовательности. n - номер члена числовой последовательности. { x_n } или - общий член.

Таким образом, числовая последовательность это частный вид функции, в котором элементу из множества натуральных чисел по определенному закону однозначно ставится в соответствие элемент из множества вещественных чисел.

 

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c ×{ x_n } – это последовательность с элементами { c × x_n }, то есть

c × { x ₁, x ₂, x ₃,... }={ c × x ₁, c × x ₂, c × x ₃,... }.

2. Сложение и вычитание последовательностей.

{ x_n }±{ y_n }={ x_n ± y_n },

или, более подробно,

{ x ₁, x ₂, x ₃,... }±{ y ₁, y ₂, y ₃,... }={ x ₁± y ₁, x ₂± y ₂, x ₃± y ₃,... }.

3. Умножение последовательностей.

{ x_n }×{ y_n }={ x_n × y_n }.

4. Деление последовательностей.

{ x_n }/{ y_n }={ x_n / y_n }.

Естественно, предполагается, что в этом случае все y_n ¹0.

Определение 2.

Последовательность { x_n } называется ограниченной сверху, если .

Последовательность { x_n } называется ограниченной снизу, если .

Последовательность { x_n } называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности { x_n } при n стремящимся к бесконечности, если

.

Для этого факта используют следующие обозначения:

или .

Подчеркнем, что N зависит от e.

Варианты определения.

Говорят, что , если .

Говорят, что , если .

Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если (то есть, если ).

Бесконечно малые последовательности.

Оределение. Последовательность { x_n } называется бесконечно малой, если , то есть если .

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Если { x_n } – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N, определена последовательность {1/ x_n }, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если { x_n } – бесконечно малая последовательность и все x_n отличны от нуля, то {1/ x_n } есть бесконечно большая последовательность.