Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2021-04-19 | 59 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями , . Тогда ее функция распределения вероятностей
, (34.1)
где - функция единичного скачка. Определить плотность вероятности случайной величины по ее функции распределения можно с учетом равенства . Однако при этом возникают математические сложности, связанные с тем, что функция единичного скачка , входящая в (34.1), имеет разрыв первого рода при . Поэтому в точке не существует производная функции .
Для преодоления этой сложности вводится -функция. Функцию единичного скачка можно представить через -функцию следующим равенством:
. (34.2)
Тогда формально производная
(34.3)
и плотность вероятности дискретной случайной величины определяется из соотношения (34.1) как производная функции :
. (34.4)
Функция (34.4) обладает всеми свойствами плотности вероятности. Рассмотрим пример. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями , и пусть , . Тогда вероятность - того, что случайная величина примет значение из отрезка может быть вычислена, исходя из общих свойств плотности по формуле:
.
Здесь
,
поскольку особая точка - функции, определяемая условием , находится внутри области интегрирования при , а при особая точка находится вне области интегрирования. Таким образом,
.
Для функции (34.4) также выполняется условие нормировки:
.
Отметим, что в математике запись вида (34.4) считается некорректной (неправильной), а запись (34.2) - корректной. Это обусловлено тем, что -функция при нулевом аргументе , и говорят, что не существует. С другой стороны, в (34.2) -функция содержится под интегралом. При этом правая часть (34.2) - конечная величина для любого , т.е. интеграл от -функции существует. Несмотря на это в физике, технике и других приложениях теории вероятностей часто используется представление плотности в виде (34.4), которое, во-первых, позволяет получать верные результаты, применяя свойства - функции, и во-вторых, имеет очевидную физическую интерпретацию.
|
Примеры плотностей и функций распределения вероятностей
35.1. Случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей
(35.1)
где - число, определяемое из условия нормировки:
. (35.2)
Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно имеет вид: .
Функция распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей через плотность:
(35.3)
На рис. 35.1 представлены графики функций и равномерно распределенной случайной величины.
Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения
равномерно распределенной случайной величины.
35.2. Случайная величина называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:
, (35.4)
где , - числа, называемые параметрами функции . При функция принимает свое максимальное значение: . Параметр имеет смысл эффективной ширины . Кроме этой геометрической интерпретации параметры , имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.
Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей
, (35.5)
где - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций и нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и часто используется запись .
|
Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения
нормальной случайной величины.
35.3. Случайная величина имеет плотность распределения вероятностей Коши, если
. (35.6)
Этой плотности соответствует функция распределения
.
(35.7)
35.4. Случайная величина называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
(35.8)
Определим ее функцию распределения вероятностей. При из (35.8) следует . Если , то
. (35.9)
35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида
(35.10)
Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей при и равная
(35.11)
при .
35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина - это число успехов в последовательности из независимых испытаний. Тогда случайная величина принимает значения , с вероятностью , которая определяется формулой Бернулли:
, (35.12)
где , - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины имеет вид
, (35.13)
где - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:
, (35.14)
где - дельта-функция.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!