Идентификация математической модели

 

Цель работы: ознакомиться с разновидностями и методами идентификации математических моделей; провести параметрическую идентификацию полученной модели.

 

Краткие теоретические сведения

 

Под идентификацией объектов понимается построение оптимальных в некотором смысле математических моделей по реализации их входных и выходных параметров.

Задача идентификации заключается в количественной оценке степени идентичности модели реальному объекту.

Оценка делается на основе сравнения истиной характеристики объекта F ₀ (рис. 3.1), представленной его выходными параметрами Y ₀(t), и оценки математической модели этой характеристики F _M, описываемой выходными переменными Y _M, зависящими от входных данных Х (t). Критерием идентичности модели является минимум её ошибки q, вычисляемой чаще всего по формуле

 

Рис. 3.1. Структурная схема процесса идентификации

 

Идентификация может быть адаптивной (подстраиваемой или обучаемой) и неадаптивной (не подстраиваемой). При неадаптивной идентификации выбираются или рассчитываются коэффициенты модели и в дальнейшем эти коэффициенты не изменяются.

Основным свойством адаптивной идентификации является то, что коэффициенты математической модели по мере необходимости изменяются или подстраиваются.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте различают структурную и параметрическую идентификацию.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Y _теор связывающей входные переменные Х. Структурная идентификация включает в себя: постановку задачи; выбор структуры модели и её математическое описание; исследование модели. На этапе параметрической идентифик ации выполняется экспериментальная проверка модели.

Существующие представления об объекте и выходные объекта отражаются в виде определенной функции Y (Х, b) с неизвестными параметрами (коэффициентами) B = (b ₁, …, b_n). Процедуры же конкретной реализации функции основываются на функциональном представлении зависимости выходных переменных модели от входных.

Задача идентификации ставится как задача оптимизации

Q (B) ® min,   Y Î F М(F 0),

где Q – мера расхождения между выходными экспериментальными параметрами объекта и выходными переменными выбираемой модели (суммарная невязка); F _M(F ₀) – класс операторов, среди которых выбирается структура модели (при структурной идентификации); F _M(F ₀) – допустимая область в пространстве внутренних параметров Y модели (при параметрической идентификации).

Для стохастических объектов предполагается, что свойства случайной составляющей не зависят от входной переменной Х, т.е. полностью оцениваются определенной плотностью вероятности, в качестве которой часто принимают плотность нормального закона распределения.

 

Структурная идентификация

 

Выбор структуры модели и её математическое описаниеосуществляется с учетом характера протекания процесса как объекта моделирования.

Непрерывные металлургические процессы, происходят при непрерывной загрузке материалов и выгрузке продуктов переработки (процесс спекания глинозема, электролиз алюминия, плавка сульфидных руд в печах и т.д.).

Полунепрерывные процессы, характеризуются непрерывной загрузкой материала в течение какого-то времени, проведения процесса, отключением агрегата и выпуска продуктов переработки.

Периодические (циклические) процессы, связаны с разовой загрузкой материалов, проведением технологического процесса и выгрузкой готовых продуктов переработки (выращивание монокристаллов кремния, обжиг керамики).

Для определения структуры модели необходимо решить две задачи.

Во-первых, необходимо выделить входные и выходные параметры объекта по степени их влияния на конечный целевой показатель. При построении структуры модели в нее целесообразно включать не все входные и управляющие параметры, а только те, которые оказывают решающее влияние на выходную переменную. Не следует вводить в модель несущественные параметры, т.к. это приводит к значительному усложнению модели.

Во-вторых, определить характер связи между входными и выходными параметрами, т.е. выбрать класс операторов F _M. По характеру связи математические модели делят на линейные и нелинейные. Линейные модели применяют для описания линейных процессов, т.е. процессов, в которых связь между входной и выходной переменными описывается линейной зависимостью. Нелинейные модели применяются для описания нелинейных процессов, т.е. процессов в которых связь между входной и выходной переменными описывается нелинейной зависимостью.

Исследование модели на адекватность объекту осуществляется с помощью анализа остатков модели.