Первый частный и сложный резонансы

     Пусть конструкция системы позволяет изменять только Х₁. Изменяя индуктивность (L₁) или ёмкость (С₁) первого контура добиваются равенства:

                                           (12.12)

 

     Тогда, модули токов первичного и вторичного контуров, в соответствии с (12.9) и (12.11) найдём из выражений:

                                                                                                                                                       (12.13)

 

.

 

     При этом j₁ = 0, откуда следует, что ток I₁ совпадает по фазе с напряжением U₁. Вся цепь со стороны зажимов генератора представляет собой активное сопротивление. Режим, созданный таким образом, называется первым частным резонансом.

    Продолжая настройку, будем изменять сопротивление связи Х₁₂ = Х_М = wМ, так, чтобы вторичный ток достиг наибольшего возможного значения I_{2max max}.

 

    Дробь при изменении (где Х_М = var) получит наибольшее

 

значение при r₁ = а²r₂₂. Это можно доказать, приравняв производную дроби по “а” к нулю.

    Равенство r₁ = а²r₂₂ = Dr означает, что активное сопротивление, вносимое из второго контура в первый, равно собственному активному сопротивлению первого контура, что является условием передачи сопротивлению r₂ максимальной мощности.

        

Таким образом, ток I_{2 max} достигает максимального значения I_2maxmax:

        при или

 

Сопротивление связи Х₁₂ = Х_М, соответствующее наибольшему возможному значению вторичного тока, называется оптимальным

                                          (12.14)

        

Модули токов первичного и вторичного контуров при оптимальном сопротивлении связи (12.14) можно найти, как:

 

                       (12.15)

 

Этот режим получил название сложного резонанса.

Равенство (12.12), полученное на первом этапе настройки, нарушится во втором этапе при изменении сопротивления связи Х₁₂ = Х_М = var. Поэтому, при настройке сложного резонанса необходимо одновременно подстраивать Х₁ так, чтобы равенство (12.12) сохранялось. В этом и состоит сложность настройки связанных контуров в режиме сложного резонанса.

Второй частный и сложный резонансы.

    Второй путь настройки отличается тем, что вместо изменения параметров первого контура изменяют параметры второго – Х₂ так, чтобы при постоянном коэффициенте связи Х_М = const возникло равенство

                                          (12.16)

 

     Ток во вторичном контуре приобретает при этом, как и в случае первого частного резонанса, максимальное значение. Его модуль определяют, как:

 

 

(12.17)

 

где а₁ = Х_М / Z₁.

Этот режим получил название второго частного резонанса.

     Продолжим настройку для получения во вторичном контуре наибольшего возможного тока I_{2 max max}. Изменяем сопротивление связи

 

между контурами Х₁₂ = Х_М так, чтобы установилось равенство 

 

откуда

                                                              (12.18)

 

    При найденном сопротивлении связи Х_МОПТ

                                                                                                    (12.19)

 

 

        

    В этом режиме значение вторичного тока совпадает с его значением в режиме сложного резонанса, полученном в первом случае настройки. При изменении сопротивления связи Х_М здесь приходится менять Х₂ так, чтобы равенство (12.16) не нарушалось:

 

Полный резонанс.

    Режим полного резонанса практически проще организовать. Здесь каждый из контуров раздельно настраивается в резонанс на частоту источника питания. Для этого при настройке одного контура, другой размыкается. После настройки каждого контура в резонанс, реактивные сопротивления контуров будут равны нулю:

                   (12.20)

При этом токи в первичном и вторичном контурах определяются как:

;                                                     (12.21)

                                     

 

   (12.22)        

.

       

 

После раздельной настройки каждого из контуров, подбирается связь между контурами так, чтобы Х²_М = r₁r₂₂. При этом I_2МАХ приобретает наибольшее из всех возможных значений при заданных U₁, r₁, r₂₂. Это

 

можно доказать, приравняв производную к нулю и определив из этого равенства Х_МОПТ:

                                (12.23)

 

При оптимальном сопротивлении связи (12.23), в режиме полного резонанса модули токов обеих контуров подобны случаю сложного резонанса (12.19):

 

                                                                      (12.24)

 

 

    Если выразить сопротивление связи контуров (12.23) через коэффициент связи “К” и индуктивные сопротивления контуров, которые на резонансной частоте равны характеристическим сопротивлениям контуров:

Х_L1 = wL₁ = r₁; Х_L2 = wL₂ = r₂,                     (12.25)

то оптимальное сопротивление связи и оптимальный коэффициент связи найдем из выражений:

                                          (12.26)

 

                                          (12.27)

 

 

где Q₁, Q₂ – добротности контуров, а d₁, d₂ – расстройки контуров.

Мощность и к.п.д.

    Настройка контуров в сложный или полный резонанс позволяет получить наибольший ток во втором контуре, а следовательно и наибольшую мощность. Такая настройка осуществляется в приёмных контурах радиоаппаратуры, где к.п.д. передачи энергии не играет существенной роли.

    Если считать мощность Р₂, расходуемую во вторичном контуре, полезной, а мощность Р₁, расходуемую в первичном контуре, - потерями, то к.п.д. системы в этом режиме:

(12.28)

        

Если с помощью системы связанных контуров требуется передавать большую мощность, то такой к.п.д. (12.28) недопустимо мал. В [1] показано, что для увеличения к.п.д. системы из двух связанных контуров нужно увеличивать сопротивление связи Х_М так, чтобы активное сопротивление, вносимое из вторичного контура в первичный, было бы значительно больше собственного активного сопротивления первичного контура.

Если каждый из контуров находится в режиме резонанса и его суммарное индуктивное сопротивление, как и суммарное емкостное, равны характеристическому сопротивлению того же контура, то:

                                           (12.29)

 

    тогда к.п.д. системы можно найти в соответствии с (12.28)

                  

 

(12.30)

 

 

     Анализ (12.30) показывает, что для повышения к.п.д. необходимо увеличивать произведение K²Q₁Q₂. Если произведение Q₁Q₂ велико (например, 1000 ед.), то коэффициент связи контуров “К” можно уменьшить (до 3-4%), если Q₁Q₂ = 100, то “К” следует увеличить до 10%.

2.5. Частотные характеристики идеальных связанных контуров.     Передача информации осуществляется с помощью управляемых (модулированных) сигналов, за счёт принудительного изменения их амплитуды или частоты. Для правильной оценки условий передачи сигналов звеньями электрической цепи необходимо знать частотные характеристики этих звеньев. Наибольший интерес здесь представляют исследования зависимости токов в контурах от частоты приложенного напряжения. Для упрощения рассуждений рассмотрим идеализированные связанные контуры (r₁ = r₂₂ = 0) с трансформаторной связью, представленные на рис.12.6.

     Здесь ток в первичном контуре может быть найден, в соответствии с (12.8), при r₁ = r₂₂ = 0, как:

 

            Рисунок 12.6

 

                           (12.31)

Из анализа (12.31) следует, что первичный ток обращается в нуль при

трёх значениях частоты: w = 0, или w = ∞. Бесконечно большое значение ток (I₁→∞) первичного контура будет иметь тогда, когда знаменатель выражения (12.31) обращается в нуль:

                                           (12.32)

 

    Решая (12.32) и отбрасывая, отрицательные корни, как не имеющие физического смысла, получим частоты:

                                                                      (12.33)

 

при которых цепь дважды оказывается в режиме резонанса напряжений, а при частоте:

                                           (12.34)

 

в режиме резонанса токов (I₁→0).

    Модуль тока вторичного контура можно найти в соответствии с (12.11), как:

                                  

(12.35)

 

 

Анализ (12.35) показывает, что при частотах w₁ и w₂, когда ток I₁ = ∞, ток I₂ также увеличивается до бесконечности. Но при w =w_Р ток I₂ не падает до нуля, как ток I₁, а уменьшается до значения, определяемого из (12.8), при Z₁ = Z₂ = 0, как:

                                     (12.36)

    На рис. 12.7 сплошной линией представлена кривая изменения тока в первичном контуре в зависимости от частоты, а штриховой линией – кривая изменения тока во вторичном контуре.

     Так как коэффициент магнитной связи у воздушного трансформатора ВТ К<0.3, из (12.33) следует, что w₁, w₂ и w_Р очень близки друг другу. При уменьшении связи между контурами, частоты w₁ и w₂ сближаются с w_Р, но минимум тока вторичного контура благодаря уменьшению “M” повышается.

Рисунок 12.7