Резонансные явления в неразветвленной электрической цепи

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

     Исследование резонанса напряжений в неразветвленной электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, индуктивности и емкости.

 

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

     Резонансом называется явление совпадения частоты вынужденных колебаний ω, создаваемых источником синусоидального напряжения (источником энергии) с частотой собственных свободных колебаний электрической цепи “ω₀”.

     В последовательной электрической цепи, представленной на рис.7.1 резонанс будет возникать тогда, когда полное комплексное сопротивление электрической цепи становится чисто активным, а входной ток совпадает по фазе со входным напряжением.

     Как это следует из уравнения (7.1), записанного по второму закону Кирхгофа для схемы представленной на рис.7.1 векторных диаграмм токов и напряжений,

                            (7.1)

  представленных на рис.7.2, а также из анализа уравнений полного комплексного сопротивления последовательного колебательного контура:

,                                        (7.2)

 

   

 

 

 

Рисунок 7.1

            x_L>x_C                                                   x_L<x_C                             x_L=x_C

 

Рисунок 7.2

резонанса в этой цепи можно добиться двумя способами: во-первых, изменяя частоту источника питания от нуля до бесконечности или, во-вторых, изменяя параметры элементов индуктивности или емкости электрической цепи. В первом случае говорят о частотном, а во втором о параметрическом резонансе. Частотные и параметрические характеристики для всех возможных случаев представлены на рис.7.3.

 x_н                                                            x_н                                                            x_н

 x_c                                                            x_c                                                             x_c

 x                                           x                                           x

                                                                                                x_L=ωL

                                              x_L=ωL

 x_L=ωL                   x=x_L-x_C                              x=x_L-x_C                                                            x=x_L-x_C

 

                                                          ω                                ω                                   ω

0                               0                           0      

              ω_о                                      L_о                               C_о

 

                                                                  

                                               

      L,C=const                     ω,C=const                ω,L=const

Рисунок 7.3

 Таким образом, из уравнений (7.1 и 7.2), векторных диаграмм на рис.7.2, а также частотных и параметрических характеристик на рис.7.3 следует, что при резонансе, когда ω=ω₀, последовательная электрическая цепь, несмотря на наличие реактивных сопротивлений, ведет себя как чисто активное сопротивление . Для этого необходимо, чтобы

 .                                  (7.3)

Из (7.3) можно получить формулу для определения резонансной частоты

    .                                                    (7.4)

     Если подставить в X_L0=ω₀L и  значение ω₀, из (7.4) то получим, что на резонансной частоте

                                                 .                                          (7.5)

     Здесь “ρ” – характеристическое сопротивление последовательного колебательного контура.

    Комплексную амплитуду входного тока в соответствии с уравнением (7.1) и (7.2) найдем, как:  

                              ,                                     (7.6)

тогда, модуль амплитуды тока определим, как

                           .                          (7.7)

Т.к. при резонансе X_L0=X_C0=ρ, то из (7.7) получим, что при резонансе:

                                      = максимально!                           (7.8)

     Зависимость модуля входного тока от частоты получила название амплитудно-частотной характеристики [1]:

                            ,                           (7.9)

а зависимость сдвига по фазе между входным током и входным напряжением в функции частоты получила название фазочастотной характеристики [1,2]:

                 .                  (7.10)

      Из (7.9) и (7.10) следует, что влияние r÷L÷C параметров элементов схемы на амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики однозначно и полностью учитывается коэффициентом резонанса или добротностью Q_*:

                                 .                    (7.11)

     Коэффициент резонанса или добротностью показывает во сколько раз падение напряжения на индуктивности U_L0 и на емкости U_С0 при резонансе ω=ω₀, больше, чем напряжение приложенное ко всей r÷L÷C цепи (U). Т.е. Q_* характеризует величину перенапряжений при резонансе на реактивных элементах контура. Зависимости амплитудных значений тока, падений напряжений на индуктивности и емкости и фазового сдвига между током и напряжением в функции частоты при неизменном входном напряжении представлены на рис.7.4.

 

                                   U_Lm                                                                      

                             U_Cm                                                                                              

                              I_m        U_C0m        U_L0m                  U_Lm=x_LI_m                       

                                                       

 

                                                                                               U_Lm=x_CI_m

 

                                                                    I_m (при Q_*=10 о.е.)

                                                0                                                                                                          ω 

                                                      ω_C   <  ω₀               <             ω_L                                               

                                    φ                                                                         1

                                            +π/2                                                                                                  

                                                                             2 

         

                             0                                                                                               ω              

                                                                                ω₀        

 

                                             -π/2

                                                    (r÷C)                             (r÷L)

                                                   реакция цепи             реакция цепи

 

Рисунок 7.4

     

     Как видно из рис.7.4 на резонансной частоте при ω=ω₀ ток в цепи максимален (при заданной добротности), т.к. сопротивление цепи минимально (). Но, при этом, падения напряжений на реактивных элементах U_C0m и U_L0m хотя и велики, но не максимальны по величине. Своих максимальных значений они достигают на частотах ω_С и ω_L соответственно. Объясняется этот факт тем, что “U_Lm” и “U_Cm” представляют собой произведения двух частотно зависимых функций (реактивного сопротивления на ток)

U

                                       

 

           (7.12)

 

  

 

 

Исследование зависимости U_Lm и U_Cm в функции частоты показывает [1,2], что

падение напряжений на емкости и индуктивности достигает наибольшего значения при частотах

                     (7.13)

где  – затухание последовательного колебательного контура.

Из (7.13) следует, что ω_с<ω₀<ω_н.

    Из анализа фазочастотной характеристики, представленной на рис.7.4 следует, что до резонанса электрическая цепь имеет активно-емкостной характер, а после резонансной частоты – активно-индуктивный. Т.о. на резонансной частоте имеет место опрокидывание фазы или реакции электрической цепи. Кривая “1” на фазочастотной характеристике соответствует идеальному последовательному колебательному контуру (r=0), а кривая “2” случаю учета активного сопротивления контура “r” и его изменения с ростом частоты. Так, в случае резко выраженного поверхностного эффекта (на высоких частотах)

 ,                        (7.14)

где f – текущая частота, f₀=50 Гц – стандартная промышленная частота,

r_20°C – активное сопротивление при 20°С и стандартной промышленной частоте.

    Как правило, однако, зависимостью активного сопротивления в функции частоты пренебрегают, т.к. она проявляется в меньшей степени, чем у реактивных сопротивлений схемы [2,3].

 

III. ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ

     1.Источник переменного напряжения с регулируемой частотой, выполненный по схеме: выпрямитель – двигатель постоянного тока (ДПТ) с регулируемым возбуждением – однофазный генератор переменного напряжения (рис.7.5).

     2.Автотрансформатор ЛАТР-1М с выпрямителем – для регулирования напряжения в обмотке возбуждения ДПТ и, следовательно, оборотов или частоты вращения вала ДПТ. Первичная обмотка ЛАТРа-1М подключается к лабораторному щиту питания на напряжение 127 В.

     3.Автотрансформатор ЛАТР-2М, обеспечивающий на зажимах исследуемой электрической цепи возможность поддержания постоянного по величине уровня переменного напряжения (которое изменяется при изменении частоты).

     4.Катушка индуктивности с отводами.

     5.Батарея конденсаторов 0≤С≤52 мкФ.

     6.Амперметр т. Э59 (1÷2, А) = 1 шт.

     7.Вольтметр т. Э516 (75÷600, В) = 2 шт.

     8.Ваттметр т. Д5004 (с пределами по току 1÷2, А; по напряжению от 30 до 600В) = 1 шт.

     9.Переключатель “П”.

     10.Комплект соединительных проводов.