Основные свойства треугольника.

Свойства треугольника, изучающиеся в школе, за редким исключением, известны с античности.

Теорема Чевы была доказана в XI веке арабским учёным Юсуфом аль-Мутаманом ибн Худом, однако его доказательство было забыто. Она была доказана вновь итальянским математиком Джованни Чевой в 1678 году.

Дальнейшее изучение треугольника началось в XVII веке: была доказана теорема Дезарга (1636), открыты некоторые свойства точки Торричелли (1659). В XVIII веке была обнаружена прямая Эйлера и окружность шести точек (1765). В 1828 году была доказана теорема Фейербаха. В начале XIX века была открыта точка Жергонна.

Многие факты, связанные с треугольником, были открыты в конце XIX века. К этому времени относится творчество Эмиля Лемуана, Анри Брокара, Жозефа Нейберга, Пьера Сонда́.

Свойства углов

Во всяком треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы.

Каждый внешний угол треугольника равен разности между 180° и соответствующим внутренним углом. Для внешнего угла также имеет место теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол равен сумме двух других внутренних углов, с ним не смежных.

Неравенство треугольника

В треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны.

Дополнительное свойство: каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Теорема о сумме углов треугольник

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°:

α + β + γ = 180⁰.

В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, а на сфере — всегда больше.

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между нимиЯвляется обобщением теоремы Пифагора.

Теорема о проекциях

Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины С, делит противоположную ей сторону АВ на две части и , считая от вершины А к В.

Свойство«жесткости треугольника».

Треугольник - жёсткая фигура. Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек. Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Рассмотрим модели двух фигур - треугольника и четырёхугольника и выясним, можно ли, не меняя длины сторон, изменить форму фигуры? Под действием небольшой силы четырёхугольник изменил свою форму, а треугольник нет.

Вывод: можно сказать, что треугольник – не изменяющаяся фигура. В нем нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, в отличие от любого другого многоугольника. В треугольнике нельзя изменить ни один из углов. Таким образом, треугольник – жесткая фигура. Если заданы три его стороны, то форму треугольника уже изменить нельзя, не разрушив его. Это свойство широко используется на практике.