Роль пуассон и экспонен распределений в ТМО

Св-ва входных и выходн потоков: 1)Вер-сть наступления события в интервале времени [t;t+h], зависит только от величины h, т.е. не зависит ни от кол-ва события до момента t, ни от положения t на оси времени, т.е. моделируются случ. процессы. 2)Вер-сть реализации события на бесконечно малом отрезке времени 1>P(h)>0. 3)На отрезке h реализуется не более 1 события. Св-ва исп-ся при выводе ф-лы вер-сти наступления n-событий в интервале h. В соотв-ии с 1 -м св-вом: события явл-ся равновероятными и статистически независимыми пр n=0: P₀(t+h)=P₀(t)* P₀(h). В соотв-ии со 2-ым св-ом: для бесконечно малого h: 0< P₀(h)<1. Реш-ие ур-ия: P₀(t)=e^(-αt), t ≥ 0, где α - частота наступления событий в единицу времени. Для бесконечно малой неравной нулю величины h:

В силу 3-го св-ва: P₁(h)=1-P₀(h) ≈ αh, т.е. вер-сть наступления одного события в интервале h прямо пропорциональна его величине. Процесс, описываемый ф-ей P_n(t) явл-ся случайным, в том смысле, что длина интервала времени, в течение которого происходит каждое последующее событие не зависит от времени, которое понадобится для реализации предшествующего события – св-во отсутствия памяти. Это характерно для экспоненциального распределения.

Моделир-ие входного и выходн потоков в СМО

Входной поток соответствует «чистому» поступлению,т.е поступившее в сис-му требование обязат-но присоединяется к очереди и не покидает сис-му, пока не будет обслужено. Для h®0, n>0: Pn(t+h)={1;2, где 1- n-поступлений в течение t-единиц времени и ни одного поступления в интервале h; 2- n-1 поступлений в течение tединиц времени и 1 поступление в интервале h.

Реш-ием сис-мы дифференциальных ур-ий явл-ся ф-ция вида: , что соответствует распределению Пуассона. Выходные потоки: процессы рассматривается в предположении, что сис-ма начинает функционировать при наличии в ней N–заявок, кот. выбывают из нее с частотой m. Такие процессы- процессы чистой гибели. qn(t) – вер-сть того, что в течение t-единиц времени сис-му покинут n-клиентов.  =>

Рез-т решения этой сис-мы: q .

СМО неограниченной мощности

(M/M/1):(GD/∞/∞) –обозначение Кенделла. Осн з-чи: 1)необх-мо получить ур-ие в конечных разностях для вер-сти Pn; 2)перейти к пределу при t->∞ и получить ф-лы для Pn(t), соответствующие стационарному режиму.

(M/G/1):(GD/∞/∞)- сис-ма располагает одним узлом обслуж-ия, входной поток явл-ся пуассоновским. Распределение продолжительности обслуживания является произвольным со средним E(t) и дисперсией var(t).

(M/M/C):(GD/∞/∞) – много узлов, конечная цель параллельного обслуж-ия - повышение скорости обслуж-ия. Сис-ма эквивалентна сис-ме с одним обслуживающим прибором, быстродействие кот увелич-ся в n-раз при наличии в системе n- требований.

(M/M/∞):(GD/∞/∞) – модель самообслуж-ия, т.е. сам клиент выступает в кач-ве обслуживающего узла. Исп-ся для оценки хар-к с многоканальным обслуж-ием для определения допустимых значений «с».

СМО ограниченной мощности

(М/М/1):(GD/N/∞) – макс. длина очереди: N-1, т.е. при наличии в сис-ме N-заявок ни одна из дополнительных заявок на обслуж-ие не может присоединиться к очереди в блоке ожиданий. Число допускаемых в сис-му требований контролируется ограничением на длину очереди.

(M/M/C):(GD/N/∞) – модель для параллельного обслуж-ия, но с ограничением на вместимость блока ожидания. Длина очереди не может превышать N-C. Исп-ся обобщенная многоканальная модель.