Последовательное соединение активного сопротивления и индуктивности (r, L)

На схемах цепей переменного тока сопротивления обозначаются, как показано на рис. 145. На практике часто встречаются участки электрической цепи, обладающие как активным, так и индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Рис. 145. Обозначение сопротивлений в цепях переменного тока

Пусть необходимо определить напряжение сети, которое нужно приложить к зажимам катушки, чтобы по ней мог проходить переменный ток. Катушка имеет активное и индуктивное сопротивления. Поэтому напряжение сети должно уравновесить активное падение напряжения, а также э.д.с. самоиндукции, возникающую в катушке.

Построим векторную диаграмму и графики для этого случая.

На рис. 146 вектор I обозначает переменный ток катушки. э.д.с. самоиндукции E_L в катушке отстает по фазе от тока на 90°.

Рис. 146. Векторная диаграмма и графики для последовательного соединения r и L

Часть напряжения сети, уравновешивающая э.д.с. самоиндукции, показана вектором UL, который равен и противоположен вектору E_L. Часть напряжения сети, равная падению напряжения в активном сопротивлении, изображена вектором U_а, совпадающим по фазе с током. Напряжение сети должно быть равно геометрической сумме падений напряжения: активного U_a и индуктивного U_L. Геометрическая сумма берется потому, что U_a и U_L на рис. 146 изображаются векторами, а векторы складываются геометрически.

Оба эти напряжения расположены под углом одно к другому. Поэтому для получения их геометрической суммы необходимо на векторах U_a и U_L построить параллелограмм. Его диагональ (равнодействующая) представляет собой вектор напряжения сети U.

Как видно из рис. 146, вектор тока I отстает от вектора напряжения U на угол φ:

tg φ = ^U_L/_Ua = ^Ix_L/_Ir = ^x_L/_r.

В катушке, содержащей только индуктивное сопротивление, ток отставал от напряжения сети на угол 90°, а при учете активного сопротивления ток отстает от напряжения сети на угол, меньший, чем 90°. И только когда индуктивность равна нулю, ток в катушке совпадает по фазе с напряжением сети.

Построим график мгновенной мощности для последовательного соединения активного сопротивления и индуктивности (рис. 147).

Рис. 147. Графики мгновенной мощности для цепи с последовательным соединением r и L

Из представленного графика видно, что средняя, или активная, мощность не равна нулю, как было в цени с индуктивностью или емкостью. В этом случае в течение некоторой части периода энергия в цепи расходуется на нагрев сопротивления и образование магнитного поля катушки (мощность положительна). В течение другой части периода энергия возвращается в сеть (мощность отрицательна).

Таким образом, средняя, или активная, мощность Р переменного тока зависит не только от величин напряжения U и тока I, но также и от сдвига фаз φ между ними.

Заштрихованный на рис. 146 треугольник напряжений начертим отдельно (рис. 148). Так как этот треугольник прямоугольный, то в случае, когда одна сторона неизвестна, ее можно определить с помощью теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Следовательно,

U² = U_a² + U_L²,

откуда

U = √(U_a² + U_L²).

Рис. 148. Треугольник напряжений

Пример 7. Определить напряжение сети, которое необходимо приложить к зажимам катушки, чтобы в ней протекал ток в 5 а, если активное сопротивление катушки r равно 6 ом, а индуктивное сопротивление x_L равно 8 ом.

Активное падение напряжения

U_a = I ⋅ r = 5 ⋅ 6 = 30 в.

Индуктивное падение напряжения

U_L = I ⋅ x_L = 5 ⋅ 8 = 40 в.

Полное падение напряжения равно напряжению сети:

U = √(U_a² + U_L²) = √(30² + 40²) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 в.

Необходимо отметить, что показание вольтметра сети не равно арифметической сумме значений U_a и U_L (30 + 40 ≠ 50).

Если стороны треугольника напряжений (рис. 149, а) разделить на величину тока I (рис. 149, б), то углы треугольника от этого не изменятся, и мы получим новый треугольник, подобный первому, - треугольник сопротивлений (рис. 149, в).

Рис. 149. Получение треугольника сопротивлений

В треугольнике сопротивления, показанном отдельно на рис. 150, все стороны обозначают сопротивления, причем гипотенуза его является полным сопротивлением цепи.

Рис. 150. Треугольник сопротивлений

Из треугольника сопротивлений видно, что полное сопротивление z равно геометрической сумме активного r и индуктивного x_L сопротивлений.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику сопротивлений, получаем

z² = r² + x_L²,

откуда

z = √(r² + x_L²).

Из треугольника сопротивлений также получаем:

cos φ = ^r/_z; sin φ = ^x_L/_z;

r = z ⋅ cos φ; x_L = z ⋅ sin φ.

Если

U_a = Ir и U_L = Ix_L,

то

U = Iz.

Из формулы U = I ⋅ z видно, что

I = ^U/_z или I = ^U/_(√r² _{+ xL}²₎.

Это и есть формула закона Ома для цепи с последовательным соединением r и L.

Пример 8. Определить ток, проходящий через катушку, индуктивнее сопротивление которой равно 5 ом, а активное сопротивление равно 1 ом, если напряжение сети переменного тока равно 12 в.

Определим полное сопротивление катушки:

z = √(r² + x_L²) = √(1² + 5²) = √26 = 5,1 ом.

Применяя формулу закона Ома для цепи r, L, получим

I = ^U/_z = ¹²/_5,1 = 2,35 а.

В частных случаях, когда в цепи переменного тока имеется только активное сопротивление r, ток определяется по формуле

I = ^U/_r.

В случаях, если в цепи имеется индуктивное сопротивление, а активное сопротивление так мало, что им можно пренебречь, формула закона Ома приобретает вид

I = ^U/_xL.

Если необходимо узнать активное сопротивление потребителя переменного тока (обмотка электродвигателя, индуктивной катушки или электромагнита), то нужно включить этот потребитель в цепь постоянного тока (рис. 151). Деля показание вольтметра, включенного к зажимам потребителя, на показание амперметра, включенного последовательно в цепь, получим величину активного сопротивления, так как

r = ^U/_I.

Рис. 151. Определение активного сопротивления потребителя переменного тока

Сказанное справедливо только при низких частотах, когда явлением поверхностного эффекта можно пренебречь и считать активное сопротивление потребителя равным его сопротивлению при постоянном токе.