Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия

Дифракцию Фраунгофера от круглого отверстия диаметром D можно наблюдать на удаленном экране или в фокальной плоскости собирающей линзы, направив на отверстие в непрозрачной преграде нормально плоскую световую волну. Дифракционная картина будет иметь вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

 

 

Ниже изображена зависимость интенсивности света от величины Ф= . Имеется главный максимум при φ = 0 (в него все вторичные волны приходят в одинаковых фазах) и ряд максимумов (светлые кольца) и минимумов (темные кольца), тем более близких между собой, чем больше D и чем меньше λ. Индекс (о) у  отмечает, что это интенсивность света при дифракции от круглого отверстия.

Соответствующий расчет дает для первого минимума (первого темного кольца): .

Для экрана, установленного на большом расстоянии L от преграды с отверстием, с учётом малости угла φ₁ (), получаем для диаметра первого тёмного кольца:

.

В центре фраунгоферовой дифракционной картины от круглого отверстия всегда образуется максимум.

Подавляющая часть светового потока (~84%), проходящего через отверстие, попадает в область центрального светлого пятна, которое можно рассматривать как изображение удалённого точечного источника, уширенного дифракцией от краёв круглого отверстия диаметра . Размер дифракционной картины тем меньше, чем больше диаметр отверстия.

Случай круглого отверстия на практике представляет большой интерес, так как все оправы линз и объективов имеют обычно круглую форму.

 

Критерий применимости геометрической оптики

Пусть на отверстие падает плоская волна. Для т -ой зоны Френеля () имеем:

.

Если размер неоднородности h намного меньше 1-ой зоны Френеля (), то наблюдают дифракцию Фраунгофера.

 

Если размер h сравним с размером 1-ой зоны Френеля (либо чуть меньше, либо равен нескольким первым зонам Френеля) т.е.   , то наблюдают дифракцию Френеля.

 

Если размер неоднородности значительно больше чем несколько первых зон Френеля , то надо пользоваться только законами геометрической оптики.

                                                    Лекция 15

Дифракционная решётка

Дифракционную решётку может представлять система параллельных щелей одинаковой ширины a, находящихся друг от друга на одинаковом расстоянии b. Величина d = a + b называется постоянной решётки или её периодом.

Традиционным способом изготовления дифракционной решётки является нанесение на стеклянную пластинку параллельных штрихов через одинаковые интервалы с помощью делительной машины, снабжённой алмазным резцом (штрихи свет не пропускают, обеспечивая одинаковые непрозрачные промежутки между щелями). В настоящее время разработаны и другие технологии изготовления дифракционных решёток.

Общий размер решётки в направлении, перпендикулярном к её элементам

,

где N – число штрихов решётки.

Пусть на решётку падает плоская монохроматическая волна перпендикулярно её плоскости. Наблюдение дифракционной картины производится в параллельных лучах с помощью линзы, собирающей свет на экран, помещённый в её фокальной плоскости или на значительном удалении экрана от места расположения дифракционной решетки.

При дифракции на решётке колебания во всех точках щелей происходят в одной фазе, поскольку эти точки принадлежат одной и той же волновой поверхности. Следовательно, колебания, приходящие в точку наблюдения Р _О, Р_φ, …, от разных щелей когерентны. Для нахождения результирующей амплитуды (и интенсивности) необходимо найти фазовые соотношения между этими когерентными колебаниями.

При расчёте дифракционной картины на экране, необходимо учитывать интерференцию вторичных волн как от разных участков одной щели ( дифракция Фраунгофера от щели ), так и от разных щелей решётки ( многолучевая интерференция ). Для учёта многолучевой интерференции также как и при рассмотрении дифракции Фраунгофера на щели удобно использовать метод векторных диаграмм.

В фокус линзы, т.е. в середину дифракционной картины, когерентные колебания от всех щелей приходят в одинаковой фазе. Это означает, что если амплитуда от одной щели равна А₀₁, а число щелей в решётке N, то результирующая амплитуда в точке Р₀ равна

A ₀ = A ₀₁ ^. N.

В точку Р_φ   придут колебания одинаковой амплитуды А_φ1 ,  но с разными фазами: разность фаз колебаний от соседних щелей одинакова и равна , так как разность хода для них .

Выберем начало отсчёта времени так, чтобы фаза электрического поля, создаваемого в точке наблюдения Р_φ первой (крайней) щелью, была равна нулю. Векторная диаграмма в этом случае – ломаная линия, состоящая из звеньев одинаковой длины А_φ1, причём каждое звено образует одинаковый угол  с предыдущим звеном.

Обозначим результирующую амплитуду в точке Р_φ от всех щелей    А_φ.

Из рисунка имеем

, где

ОС = R  –  радиус окружности.

   и .

    Исключив R, получим

 ,                                              

где . 

    Для интенсивности света    получаем

 , где  – интенсивность света при дифракции Фраунгофера от одной щели в направлении угла φ.

    Окончательно получаем    

 ,   где                     

 интенсивность от одной щели при .

Очевидно , когда векторная диаграмма образует замкнутый многоугольник. Первый раз цепочка векторов замыкается и вектор  обращается в нуль, когда угол Nγ становится равным 2π; затем 4π, 6π и т.д. Цепочка распрямляется, и А_φ имеет наибольшее возможное значение, а именно: А_φ = N ^. A_{φ 1} (), если … т.е. векторная цепочка вытягивается в прямую. При , будут максимумы  ( и ).

С учётом того, что  и что в максимумах  получаем условие максимумов:

              

Волны от соседних щелей усиливают друг друга, т.е. волны от всех щелей усиливают друг друга. Это означает, что последнее соотношение определяет направления, по которым образуются главные максимумы.

Графически сложение амплитуд от отдельных щелей, приводящее к образованию главных максимумов показано на рисунке.

 Амплитуда А_φ главных максимумов, не одинакова. Она модулируется множителем , т.е . амплитуда главных максимумов модулируется дифракцией Фраунгофера от отдельных щелей. Максимальное значение  равно единице. Оно достигается при условии  , которое соответствует центральному максимуму (φ = 0). Амплитуда всех остальных главных максимумов меньше. Если главный максимум приходится на направление, для которого  (а значит ),   то этот главный максимум отсутствует.

Целое число т в условии главных максимумов называют порядком главногомаксимума или порядком спектра.

Минимумы излучения образуются тогда, когда в результате сложения векторов амплитуд от отдельных щелей получается результирующая нулевая амплитуда, т.е. . Это происходит, если    Nγ   будет равен чётному числу π. Поэтому условие минимумов амплитуд (и интенсивностей) в дифракционной картине записывается в виде

Между двумя соседними главными максимумами имеется (N – 1) минимумов. Ясно, что между минимумами должны быть максимумы, которые называются второстепенными. Следовательно, между двумя соседними главными максимумами имеется (N – 2) второстепенных максимумов. На эти максимумы и минимумы накладываются минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели. Второстепенные максимумы слабы по сравнению с главными максимумами. Они создают более или менее равномерный слабый фон. На нём выступают узкие и резкие главные максимумы, в которых концентрируется практически весь дифрагированный свет.

На эти максимумы и минимумы накладываются минимумы, возникающие при дифракции от отдельной щели.  Наиболее яркими получаются максимумы в пределах центрального максимума при дифракции от одной щели.

Пунктирная кривая изображает интенсивность от одной щели, умноженную на .