Апериодическое звено 2-го порядка

(Слайд 13)

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается уравнением

.                      (4.14)

При этом корни характеристического уравнения

                                  (4.15)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т ₁ ≥ 2 Т ₂.

Левая часть уравнения (4.14) разлагается на множители

,                                (4.16)

(Слайд 14)

где

.                              (4.17)

Передаточная функция звена

.                         (4.18)

Из последнего выражения видно, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т ₃ и Т ₄.

(Слайд 15)

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 4.7, где а – две последовательно соединенные RL -цепи, б – две RС -цепи, в – двигатель постоянного тока.

Рис. 4.7. Апериодические звенья второго порядка

(Слайд 16)

Переходная функция получается путем решения дифференциального уравнения (4.14) при x ₁ = 1(t) и нулевых начальных условиях, то есть при t = 0; x ₂ = 0 и .

.        (4.19)

Функция веса

.             (4.20)

(Слайд 17)

Временные характеристики звена изображены на рис. 4.8 (для определенности принято T ₃ > T ₄).

На переходной характеристике показано построение, позволяющее по экспериментальным данным определять постоянные времени Т ₃ и Т ₄.

Рис. 4.8 Переходная функция (а) и дельта-функция (б)
апериодического звена второго порядка

(Слайд 18)

Частотная передаточная функция согласно (4.18), её модуль и фаза соответственно равны

;                            (4.21)

.     (4.22)

(Слайд 19)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики показаны на рис. 4.9. На амплитудно-фазовой характеристике отмечены три характерные точки: w = 0; .

Рис. 4.9. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена второго порядка

 

Построим теперь логарифмические характеристики (рис. 4.10). Для этой цели проведем вертикальные пунктирные прямые при сопрягающих частотах w₃ = 1 / T ₃ и w₄ = 1 / T ₄. Будем считать, что T ₃ > T ₄ и w₃ < w₄.

ЛАХ определяется выражением

.                    (4.23)

(Слайд 20)

Для частот, меньших, чем сопрягающая частота w₃ (а значит и меньших, чем частота ω₄), будет справедливым  и . Поэтому в этой области можно допустить L (w) » 20 lgk. Этому выражению соответствует прямая а– b на рис. 4.10.

Для частот w₃ < w < w₄ будет справедливым  и . Поэтому в этой области можно принять L (w) » 20 lg (k / w T ₃), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямая b-с на рис. 4.10).

Для частот  имеем соответственно  и , а также L (w) » 20 lg (k / w T ₃ T ₄), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая с–d на рис. 4.10)

Ломаная линия а– b –с–d представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ показана пунктиром. Она будет расходиться с асимптотической ЛАХ в местах изломов на 3 дБ.

Рис. 4.10. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена второго порядка

ЛФХ получается суммированием двух слагаемых (см. второе уравнение (4.22)). Каждое слагаемое дает фазовую характеристику, совпадающую с ЛФХ апериодического звена первого порядка (рис. 4.10). В результате суммирования получаем ЛФХ, ордината которой соответствует  при  и .