ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

Основные понятия и определения

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) порядка “n” называется уравнение, связывающее аргумент х, функцию y и ее производные функции.

F(x,y,y',y'',..y⁽ⁿ⁾)=0

2. Старшая производная задана неявно.

3.Порядок старшей производной – порядок ДУ.

4.Если у=у(х), то ДУ- обыкновенное. Если у=у(x,t,ω), то F(x,t,ω, , , )=0-уравнение в частных производных.

5. у=у(х)-решение ДУ, если при подстановке в ДУ получаем тождество.

6. у=у(х,С₁, С₂….С_n), где С₁, С₂….С_n- произвольные постоянные- общее решение.

7. у=у(х), х=х(у) удовлетворяющее этому ДУ, но не входящие в общее решение- особое решение

8. Если в общем решении у=у(х,С₁, С₂….С_n) произвольным постоянным придать конкретное значение, то имеем частное решение.

9. Отыскание решения - интегрирование ДУ.

10. Если решение ДУ записано через интегралы, то говорят, что решение – квадратуры(даже если интегралы неберущиеся)

Теорема о существовании и единственности задачи Коши для ДУ-1(без док-ва)

у                                                              а)Пусть дано уʹ=f(x,y): 1. Д-область существования f(x,y)

                                                   2. f(x,y),  непрерывны в Д, тогда для всякого (х₀,у₀)

           х                                                       существует решение у=у(х), такое что у(х₀)=у₀

 

б) Если решениям ДУ-1 у=у₁(х) и у=у₂(х) совпадают в одной точке, то они тождественны.

Решение уравнения с разделяющимися переменными

уʹ=f(x)*g(y)

= f(x)*g(y) |*

= f(x)*g(y)*  |/g(y)≠0

= f(x)*

=  - общее решение

Понятие однородной функции n -ого измерения однородные ДУ-1, их решение

f(x,y)- однородная измерения m, если f(tx, ty)=t^m*f(x, y)

Метод решения однородного ДУ-1:

f(x, y)=f(tx, ty)

уʹ= f(x, y)=f(tx, ty) => уʹ= f(tx, ty)

Пусть t=  

уʹ= f( *x, *y)=f(1,  )

уʹ= f(1,  ) =>однородное ДУ-1 можно сделать зависимым только от отношения  ()  (5)

=u(x)

y=u(x)*x

уʹ= = *x+u     (6)

(6) в (5): *x+u= f(1, u) – ДУ-1 с разделяющимися переменными.

Вывод: однородные ДУ-1 подстановкой =u(x) сводятся к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.

Если q(x)  0 для всякого х  Д, то уʹ+p(x)*y=0- однородное линейное ДУ-1.

Если q(x) , то уʹ+p(x)*y= q(x)- неоднородное линейное ДУ-1.

общего решения методом Бернулли

у=u(x)*v(x) (10)

= *v+u*

*v+u*  +p(x)*u*v= q(x)

a) =- p(x)*v |*

v= (11)

Подставим v в б:

* =q(x) |*

(12)

Ответ: (11), (12) в (10)

ДУ-1 Бернулли: определение, отыскание общего решения

уʹ+p(x)*y= q(x)*у^m|/ у^m≠0

m≠0

+ p(x)*  = q(x)

 = z

= =>   =>   + p(x)*z = q(x) – НЛДУ-1

Замечание: у=u*v – подстановка.

 

11. Дифференциальные уравнения высшего порядка: основные понятия и определения. Три типа ДУ высшего порядка, допускающие понижение порядка.

Основные понятия и определения.

1⁰ ДУ- уравнение связывающее независимую переменную х с искомой функцией y (x) и её производными

.

(1)

(1)

(2)

(1) – ДУ – неразрешённое относительно старшей производной

(2) – ДУ – разрешённое относительно старшей производной y ^{( n )} (в нормальном виде)

2⁰ Порядок старшей производной называется порядком ДУ

3⁰ y = y (x), то ДУ называется обыкновенным

4⁰ y = y (x, t, ω)

 - уравнение в частных производных

5⁰ y = y (x) – решение, если при подстановке ДУ получится тождество

6⁰ y = y (x, C ₁, C ₂,…, C_n), где C ₁, C ₂,…, C_n – общее решение ДУ-n

7⁰ y = y (x), x = x (y) удовлетворяющие данному ДУ, но не входящие в общее решение, называются особым решением

8⁰ Если в общем решении y = y (x, C ₁, C ₂,…, C_n) произвольные постоянные – конкретные значения C ₁ = C ⁰ ₁, C ₂ = C ⁰ ₂,…, C_n = C ⁰ _n, то имеем частное решение ДУ

9⁰ Отыскание решений ДУ называется интегрированием ДУ

«решить ДУ», «проинтегрировать ДУ» - синонимы

10⁰ Если решение ДУ записано через интеграл, то говорят, что решение найдено в квадратурах, даже, если эти интегралы не выражены в элементарных функциях

  Ф(x, y, C ₁, C ₂,…, C_n)=0 – общий интеграл

y = y (x, C ₁, C ₂,…, C_n) – общее решение

ДУ-n, допускающие понижение порядка

1⁰ y ^{( n )} = f (x)

- ДУ-1 относительно y^(n-1), с разделяющимися переменными

d(y^(n-1))=f(x)dx

∫d(y^(n-1))=∫f(x)dx+C

y^(n-1)=∫f(x)dx+C

снова понижаем порядок

- ДУ-1 с разделяющимися переменными

∫d(y^(n-2))=∫(∫f(x)dx+C₁)dx+C₂

y^(n-2)=∫(∫f(x)dx)dx+xC₁+C₂

 и т.д.

2⁰ F(x, y^(k), y^(k+1),…, y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Нет явно    k=1,2,…,n

k=n случай 1⁰ y⁽ⁿ⁾=f(x)

(2)

,…,     (3)

(2) и (3) в (1):

ДУ-(n-k) (4)

Замечание: вопрос о решении (4) остался открытым; хорошо, если оно сводится к известным ДУ.

3⁰ (5)

Нет явно «х»

Можно понизить порядок на единицу

(6)

= =

(7)

(8)

(9)

(6)-(9) в (5):

(10)

Решение (10)

P=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – общее решение (10)

=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – ДУ-1с разделяющимися переменными

- общий интеграл ДУ (5)

 

Линейные ДУ высшего порядка(ДУ- n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ- n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ- n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ- n.

(1)

Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным.

Введем оператор:  (2)

С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид:

ЛОДУ-(n) Свойства решений

Т₁  Если - решения, то - тоже решения

Д-во:

     Тогда:

Т₂ Если - решение, то -тоже решение, где

Д-во: , тогда

    

Понятие ФС ЛОДУ-(n)

Т  опред. на  были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан  хотя бы в одной точке на

Т Если Вронскиан  в точке , то он не равен о ни в одной точке

О n - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)

Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n)

Если  – ФСР ОЛДУ-(n)

, то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид:

 , (2)

Д-во: имеем

А) Тогда

Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение:

 (3)

(2) в (3): (4)

(4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0.

Значит (4) – единственное решение

Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана

Вопрос.

П-ОЛДУ с постоянными коэффициентами

L(y)=yⁿ+a₁y^n-1+…+a_n-1y’+a_ny=0 (11)

a₁,a_2,…,a_n-const

Метод Эйлера: ищем решение в виде y=e^λx λ-const (12)

y’=λe^λx,y”=λ²e^λx…yⁿ=λⁿe^λx (13)

(12) и (13) в (11)

L(e^λx)= λⁿe^λx+a₁ λ^n-1e^λx+…+a_n e^λx

L(e^λx)= (λⁿ+a₁ λ^n-1+a₂ λ^n-2+…+a_n) e^λx

L(e^λx)=P(λ) e^λx≡0 (14)

e^λx≠0 xϵ(-∞;∞)

Из (14) следует P(λ)≡λⁿ+a₁ λ^n-1+…a_n=0 (15)

Характеристическое уравнение(ху)

Задача. Интегрирование диф. уравнения свелось в

Случаи:

1. ХУ(15) имеет n различных вещественных корней

n решений λ₁, λ₂,.., λ_n y₁= e^λ1x,y₂= e^λ2x,…,y_n= e^λx(16)

 

W(e^λ1X,…, e^λnX)= e^λ1X e^λ2X … e^λnX

                                         λ₁ e^λ1X x₂ e^λ2X… λ_n e^λnX

                         ………………………

                         λ₁^n-1 e^λ1X … λ_n^n-1 e^λnX

 

= e^λ1X* e^λ2X*… e^λnX * I I …. I

                               λ₁    λ₂  …. λn ≠0 xϵ(-∞;∞)

                               λ₁^n-1 λ₂^n-1… λ_n^n-1  

определитель Вандер Монда т.е (16)-ФСР

Тогда y_оо=с₁y₁+ с₂y₂+…+ с_ny_n= c₁e^λ1X + c₂ e^λ2X+…+ c_n e^λnX (17)

2. Среди корней XУ имеется комплексный корень λ₁=α+iβ

Тогда имеется обязательно сопряжённый корень λ₂=α+iβ

y₁₌ e^α+iβ)x=e^αx(cosβx+isinβx)= e^αxcosβx+ ie^αxsinβx=u(x)+iv(x)=y₁(c волнистой чертой) y₂(c волн.ч)= e^α-iβ=e^αxcosβx-ie^αxsinβx= u(x)+iv(x)

Теорема о комплексном решении ДУ

Пусть y=u+iv – комплексное решение ДУ. Тогда L(y)≡0 следовательно L(u)+iL(v)=0 следовательно

т.е u(x) и v(x)-действительное решение ДУ.

Вывод: двум комплексным сопряжённым корням λ_1,2=α+iβ характеристического уравнения P(λ)=0 соответствует вещественное решение y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

3. Среди корней ХУ корень λ₁ кратности “к”

XУ P(λ)=(λ-λ₁)^kQ_n-k(λ)=0 (18)

P’(λ)=k(λ- λ₁)^k-1 Q(λ)+ (λ- λ₁)^kQ’(λ)

P’’(λ)= k(k-1)(λ-λ₁)^k-2Q(λ)+2k(λ-λ₁)^k-1Q’(λ)+ (λ-λ₁)^kQ’’(λ)

……………………………………………………………..    (19)

P^{(k) (}λ)=k(k-1)…2*1Q(λ)+…+ (λ-λ₁)^kQ^k(λ)

Если λ₁-корень ХУ(18), то (Q(λ₁)≠0)

P(λ₁)≡0 P’(λ₁)=0,P’’(λ₁)=0…,P^k-1(λ₁),но P^k(λ₁)=k’Q(λ₁)≠0

Ранее имеем L(e^λx)=P(λ) e^λx=0 (20)

Продифференцируем соотношение (20) по λ:

(L(e^λx))’_λ=(P(λ) e^λx)’_λ   ;(e^λx)’=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

L(x e^λx)=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

Ещё раз дифференцируем по λ k-2 раз

L(x² e^λx)=P’’(λ) e^λx+2P’(λ)x e^λx+P(λ) e^λxx²      (21)

Если в соотношении (21) подставим λ₁-корень ХУ,то будем иметь

L(x e^λx)=P’(λ₁) e^λ1x+P(λ₁)x e^λ1x=см 19=0 L(x e^λ1x)≡0 следовательно x e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. L(x² e^λ1x)=см 19=0+0+0=0 следовательно x² e^λ1x-тоже решение ОЛДУ-n. L(x^k-1 e^λ1x)=0+0+…+0=0 следовательно x^k-1 e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. Вывод: Если λ₁-как кратный корень ХУ, то ему соответствует,,к,, решений:

 y₁= e^λ1x,y₂=x e^λ1x,y₃=x² e^λ1x,…,y_k=x^k-1 e^λ1x –входят в ФСР как лин. независимые

4. Среди корней ХУ имеются почленно сопряжённые как кратные корни λ_1,2=α+iβк р “ к” Всего 2к корней. Следует 2 кратным корнем имеет два вещественные решения y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

В силу кратности y₃=x e^αxcosβx,…,y_2k-1=x^k-1 e^αxcosβx

                           y₄=x e^αxsinβx,…, y_2k=x^k-1 e^αxsinβx