Вычисление суммы элементов убывающей последовательности

Полученная выше программная схема может быть использована для вычисления суммы элементов последовательности при соответствующей модификации. Для последовательности t0, t1, t2, … можно определить ряд частичных сумм S1, S2, S3, … так, что Si=t1+t2+ … +ti. Это позволяет указать рекуррентную формулу для вычисления каждой последующей частичной суммы через предыдущую: Si=Si-1+ti с начальным значением для S0 равным нулю. Если для вычисления элементов последовательности задано рекуррентное выражение ti=f(ti-1), то программную схему для вычисления суммы элементов последовательности можно определить таким образом:

t=t0

S=t

ПОКА P(S,t)                                                                                   (3)

t=f(t)

S=S+t

ВСЕ –ЦИКЛ

Эта конструкция будет обладать теми же свойствами, что и программная схема для обработки рекуррентных выражений.    

Нетрудно заметить, что если заменить в рекуррентной формуле для суммы элементов последовательности знак “+” на знак “*”, а начальное значение принять равным 1, то можно рассчитывать произведение элементов последовательности.

Пример 3. Рассмотрим задачу приближенного вычисления e^x для значения x, удовлетворяющего условию abs(x) < 1, как вычисление суммы следующего убывающего ряда:

e^x=1 + x + x2/2! + x3/3! + …+ xi/ i! + …,

где каждый элемент последовательности рассчитывается по рекуррентной формуле: t_i=t_i-1*x/i с начальным значением t₀=1.

Интерпретируя элементы программной схемы (3) применительно к рассматриваемой задаче, получим проект программы

ВВОД x, eps

t=1

s=t

i=1

ПОКА ABS(t) > eps

  t=t*x/i

  s=s+t

  i=i+1

ВСЕ –ЦИКЛ

ВЫВОД “ ex=”: s

Excel не имеет в своем составе средств реализации циклических структур. Поэтому будем использовать следующий прием. Введем, например, для убывающего процесса индикатор следующего вида:

где t_i – i-й элемент последовательности, eps – точность.

Формула для расчета индикатора =ЕСЛИ(ABS(t_i)> eps;”Продолжить”;”Останов”) добавляется к расчетным формулам для t, s, i и копируется вместе сними до появления в ячейке теста Останов.

Реализация примера 3 на Excel. Вычислить e^x= ⁱ/ i!

Алгоритм решения этой задачи предполагает выполнение следующих шагов:

1. В рабочей книге Лабораторные работы.xls создайте рабочий лист с именем Сумма ряда. В ячейку А1 вводим текст «Лабораторная работа №7(1)». В ячейку А2 – текст «Вычислять e^x, используя разложение в ряд».

2. Для решения задачи выведем рекуррентные соотношения

t₀=1              t_i=t_i-1*x/i                                e^x= _i

Этот текст введем, используя команду Вставка, объект, Microsoft Equation 3.0.

3. Сформируем шапку таблицы:

4. X	5. I	6. Ti	7. еx=SUM(Ti)	8. Критерий останова
9.	10.	11.	12.	13.

4. В ячейку А11 введем значение для Х равное 2,5. В ячейку А12 введем тест Точность, а в ячейку А13 – значение 0,001.

5. В ячейки В11 и В12 введем числа 0 и 1 и образуем в столбце В последовательность натуральных чисел от 0 до 15.

6. В ячейку С11 введем начальное значение для t₀ равное 1. В ячейку С12 введем формулу =С11*$ A$11/ B11.

7. В ячейку D11 введем формулу = SUM(t0: C11) и скопируем ее на ячейку D12. Здесь t0 – это имя ячейки С11, в которой хранится начальное значение для t0. В данном случае t0 – это абсолютная ссылка, а С11 – относительная ссылка. Последняя будет изменяться при копировании этой формулы вниз, позволяя накапливать сумму значений.

8. В ячейку Е11 введем формулу для критерия останова =ЕСЛИ(ABS(С11)>$ A$13;”Продолжить”;”Финиш”). Скопируем ее на ячейку Е12.

9. Выделим блок ячеек С12:Е12 и будем копировать содержащие в них формулы до появления текста Финиш. Удаляем лишние строки и оформляем таблицу с результатами.

10. По данным таблицы построим график. Результат приведен на рис. 7.2.

Рис. 7.2. Решение задачи о вычислении экспоненты

График и данные таблицы иллюстрируют процесс сходимости суммы элементов  последовательности с ростом i к истинному значению. Можно легко оценить скорость сходимости, максимальное количество итераций для достижения заданной точности. В ячейке G13 приведена формула =EXP(A11) для проверки полученного результата.

Реализация примера №2 на Excel.

Алгоритм решения задачи вычисления квадратного корня из Х средствами Excel содержит следующие этапы:

1. В рабочей книге Лабораторные_работы.xls создайте рабочий лист с именем Последовательности. В ячейку А1 введем текст: «Лабораторная работа №7(2)»

2. В ячейку А2 введем текст задания

“Вычислить , используя итерационную формулу y_i= y_i-1+(x/ y_i-1 – y_i-1)/2”

3. В строке 8 построим шапку таблицы, в которой будут содержаться результаты расчета

Х	№	Y	Критерий останова

В ячейку С9 вводится ссылка на ячейку с y₀, например, =$A$13. В ячейку С10 вводится формула =С9+($B$9/C9-C9)/2. В ячейку D10 надо ввести формулу

=ЕСЛИ(ABS(C10- C9)>$ A$11;”Продолжить”;”Останов”),

которая реализует индикатор для сходящейся последовательности. В А11 должно быть введено значение для eps в А13 – для y₀.

4. По данным таблицы п.3 построим график. Результат должен выглядеть так, как показано на рис. 7.3. Отметим, что точность вычисления и, следовательно, момент прекращения расчета контролируется по данным последнего столбца.

Пример 4. Рассчитать элементы последовательности Фибоначчи по формуле

U_i= U_i-1 + U_i-2 для всех i=2,3,4,…, принять U_i-1= U_i-2=1.

Реализация этой формулы потребует три ячейки с именами utek для хранения текущего значения ряда Фибоначчи, u1 для хранения предыдущего значения ряда Фибоначчи и u0, в которой будет храниться элемент U_i-2. Легко заметить, что

            1 при i=2                     1 при i=2

U_i-1 =                        , U_i-2 =                                  и U_i = U_i-1 +U_i-2

             U_i при i > 2                  U_i-1 при i > 2

Рис. 7.3. Расчет квадратного корня из Х

Теперь легко построить алгоритм решения задачи:

1. В ячейку u1 введем формулу: =ЕСЛИ(u1=0;1;utek).

2. В ячейку u0 введем формулу: =ЕСЛИ(u0=0;1;u1).

3. В ячейку utek введем формулу: =u1+u0.

Установим режим Вручную, зададим предельное количество итераций и, нажимая клавишу F9, рассчитаем требуемое количество элементов последовательности.

Проверьте,

знаете ли вы, что такое:	умеете ли вы:
· циклические вычислительные процессы; · последовательность и виды последовательностей; · структура ЦИКЛ–ПОКА и ее реализация в Excel; · рекуррентные выражения и программная схема их обработки; · программная схема расчета суммы элементов убывающего ряда и применение ее к типовым вычислениям;	· составлять проекты алгоритмов для решения задач по обработке рекуррентных выражений и суммы элементов убывающего ряда; · реализовывать проекты алгоритмов обработки циклических вычислительных процессов средствами Excel.

ЛЕКЦИЯ № 10