Затем возникло бесконечное число меньше, чем беско- нечность. И бесконечности дней родили бесконечности множественных порядков.

Это все.

А. Какая странная концовка. А что такое «день алеф»?

Б. Ну, алеф — это буква еврейского алфавита, она здесь и сто- ит, смотри: ℵ. Похоже, она обозначает бесконечность.

Давай признаемся себе: это что-то трудное и будет не просто с этим разобраться.

48

А. Ты можешь все записать, пока я готовлю ужин? Слишком сложно все это держать в голове, а прочесть я не могу.

Б. Хорошо, так и мне станет чуточку яснее.

..................................................

А. Любопытно, что четыре числа, сотворенные в день третий, не упоминаются. Мне все же интересно, как Конвей их назвал.

Б. Может быть, если мы испытаем правила сложения и вы- читания, мы разберемся, что это за числа.

А. Да, если мы только сможем понять эти правила сложения и вычитания. Давай попробуем записать правило сложе- ния в символической форме, чтобы разобраться, что оно означает.... Я думаю, что слова «соответственно его виду» означают, что левому соответствует левое, а пра- вому — правое. Что ты думаешь насчет этого:

x + y = ((X _L + y) ∪ (Y _L + x), (X _R + y) ∪ (Y _R + x))? (3)

Б. Ужас. Что означает твое правило?

А. Чтобы получить левое множество числа x + y, ты берешь все числа вида x _L + y, где x _L содержится в X _L, а также все числа вида y _L + x, где y _L содержится в Y _L. Правое множество «точно так же» состоит из правых частей.

Б. Понимаю, «левая часть» x — это элемент множества X _L. Твое символьное определение кажется совместимым с тем, что изложено в прозе.

А. И кроме того, оно имеет смысл, потому что каждое из чисел x _L + y и y _L + x должно быть меньше x + y.

Б. Хорошо, мне хочется испытать это правило, посмотреть, как оно работает. Смотрю, ты назвала его правилом (3).

А. Теперь, после третьего дня, мы знаем, что есть семь чисел, мы можем назвать их 0, 1, − 1, a, b, c и d.

Б. Нет, лучше мы воспользуемся симметрией левого и право- го и рассмотрим числа

− a < − 1 < − b < 0 < b < 1 < a,

49

   где                                                                                   

− a = <: − >       < |: > = a

− 1= − = <: • >        < •: > = | =1

− b = < −:: • >       < •: | > = b

0= <: > = •

А. Чудесно! Должно быть, ты прав, ведь следующее правило Конвея гласит вот что:

− x = (− X _R, − X _L) .                                                                        (4)

Б. Вот оно! Ладно, мы можем начать эти числа складывать.

Итак, что такое 1+1 по правилу (3)?

А. Вот ты и сосчитай, а я посчитаю 1+ a.

{ }

{ }

{          }

Б. Хорошо, получается (0+ 1, 0+ 1, ∅). Здесь 0+ 1 — это (0+ 0, ∅); 0+ 0 — это (∅, ∅)= 0. Все сходится, и получа- ется, что 1+1 = (1, ∅)= a. Как мы и думали, a должно быть двойкой.

А. Поздравляю, ты доказал, что 1+1 = 2 самым длинным в мире способом.

Б. А ты знаешь доказательство короче?

{ }

А. На самом деле нет. Между прочим, твои вычисления мне помогут. Я получаю 1+2 = (2, ∅) — число, сотворенное только на четвертый день.

Б. Предлагаю назвать его «3».

А. Браво. Итак, правило (3) работает; давай убедимся, что

2

b — это 1  , вычислив сумму b + b...

{ } { }

Б. Странно, выходит (b, b + 1) — а это число еще не сотво- рено.

{ } { }

{ } { }

А. При этом b +1 — это число (b, 1, 2), которое похоже на (1, 2), а оно сотворено на четвертый день. Так что b + b появляется в день пятый.

Б. Не говори только, что b + b должно быть равно другому

числу, имени которого мы еще не знаем.

А. Мы зашли в тупик?

50

Б. Мы разработали теорию, которая объясняет, как вычис- лить все сотворенные числа, так что мы должны быть в состоянии сделать это. Давай составим таблицу для первых четырех дней.

А. Билл, это слишком большая работа.

Б. Да нет же, здесь есть простая закономерность. Смотри:

День 1                                    0

День 2              − 1                                                1

День 3    − 2                   −                                                 2

День 4 − 3 − (+1) −       −                                   +1           3

А. Теперь ясно, b + b — это число (b, b + 1), которое полу- чается из несоседних чисел..., а наша теория говорит, что это — сотворенное-раньше-всех число между ними.

{ } { }

Б (просияв). Это же 1 — оно появилось раньше c.

2

А. Так что b — это все-таки 1  , хотя его численное значение

выясняется только через два дня после создания. Удиви- тельно, как много всего можно доказать, пользуясь столь немногими правилами; они так плотно пригнаны друг к другу — даже голова кругом идет.

Б. Спорим, d — это 1  , а c — это 2  .

3          3

А. Да ведь солнце уже садится. Утро вечера мудренее, Билл, времени у нас впереди много, а я совершенно иссякла.

Б (бубня под нос). d + c =.... Ладно, спокойной ночи.

 

 

51

Глава 9

ОТВЕТ

А. Ты уже не спишь?

Б. Ночь была ужасной. Я и сам ворочался, не переставая, и мысли в голове бегали по кругу. Мне снилось, что я что-то доказываю и делаю логические выводы, но когда проснулся, все они оказались неразумными.

А. Может быть, эта математика нам совсем не подходит. Еще вчера мы были счастливы, а теперь...

Б (перебивая). Да, вчера мы были сильны в математике, а сегодня все изменилось. Я не могу выбросить это из

  головы, мы должны получить больше результатов, иначе я никогда не засну. Куда же запропастился этот каран- даш?

А. Билл, тебе нужно позавтракать. Есть абрикосы и фиги. Б. Ладно, но потом сразу примемся за работу.

А. На самом деле мне тоже интересно этим заняться, однако пообещай мне одну вещь.

Б. Какую?

А. Сегодня мы разбираемся только со сложением и вычита- нием; никакого умножения. Пока мы даже смотреть не будем на другую часть скрижали.

Б. Ладно. Я почти хочу отложить умножение надолго, оно выглядит ужасно сложным.

А (целуя). А теперь отдохни.

Б (потягиваясь). Ты так добра ко мне, Алиса.

А. Так-то лучше. Вечером я размышляла над тем, как ты решал задачу про все числа вчера утром. Думаю, это настолько важный принцип, что мы должны его записать в виде теоремы. Вот так:

Если y = (Y _L, Y _R) — произвольное число, а x — первое сотворенное число такое, что Y _L < x и x < Y _R, то x ≡ y.

(T8)

≡

∪    ∪

Б. Гм... Думаю, что мы доказали именно это. Давай попробу- ем восстановить доказательство, пользуясь этими симво- лами. Мы рассматривали число z = (X _L Y _L, X _R Y _R), для которого по теореме (T7) выполнялось соотношение x z. С другой стороны, ни один элемент x _L множества X _L не удовлетворяет неравенству Y _L < x _L, поскольку x _L сотворе- но раньше x, а ведь мы считаем x самым ранним числом, удовлетворяющим неравенствам Y _L < x и x < Y _R. Поэтому по теореме (T4) x _L y _L для каждого x _L и некоторого y _L. Так что X _L < y и аналогично y < X _R. По теореме (T7)

y ≡ z.

Теперь, когда мы вооружены средствами, доказательства

получать довольно просто.

54

А. Что приятно, теорема (T8) значительно упрощает вы- числения, которые мы делали вчера вечером. Когда мы вычисляли b + b = ({ b }, { b + 1 }), мы могли сразу восполь-

зоваться тем, что 1 — первое сотворенное число между { b }

и { b + 1 }.

Б. Давай-ка испытаем это на сумме c + c. Это должно быть

первое сотворенное число между b + c и 1+ c. Значит, это

b + 1, то есть 1 1  ; поэтому c — это 3  .

2                   4

.

3

Вот так сюрприз. А я думал, 2

4

А. А d — это 1  .

Б. Точно.

А. Я думаю, теперь ясна общая закономерность. После четы- рех дней сотворены такие положительные числа:

0, 1  , 1  , 3  , 1, 3  , 2, 3,

4 2 4 2

а после пяти дней, наверное, получатся такие: Б (перебивая)

0,   1,   1,   3,   1,   5,   3,   7, 1,   5,   3,   7, 2,   5, 3, 4.

8 4 8 2 8 4 8 4 2 4 2

А. Точно так. Доказать сможешь? Б....

2

2

2

Да, но это будет не так просто, как кажется на первый взгляд. Например, чтобы найти значение f =                                                             3  , { 2 } (как оказалось, это 7  ), я вычислял f + f. Это первое сотворенное число между 3 и 4, и мне пришлось «за- глянуть в будущее», чтобы понять, что это 7  . Я уверен,

что наша закономерность правильная, однако надо бы и доказательство получить.

А. На четвертый день мы вычислили 3  , зная, что это 1+ 1  ,

2                     2

а не вычисляя 3  + 3  . Может быть, нам поможет сложение

2 2

с единицей?

Б. Давай посмотрим... По определению, правилу (3),

1+ x = ((1 + X _L) ∪ { x }, 1+ X _R),

55

   при условии, что 0 + x = x . На самом деле, не правда ли, что... конечно, для положительных чисел мы всегда можем выбрать X _L так, чтобы множество 1+ X _L включало элемент x, поэтому в этом случае все упрощается до

1+ x = (1 + X _L, 1+ X _R).

А. Билл, это то, что надо! Посмотри на последние восемь чисел пятого дня: все они на единицу больше чисел дня четвертого!

Б. В точку. Теперь нам осталось доказать, что найденная закономерность выполняется для чисел между 0 и 1..., а это всегда можно сделать, рассматривая числа x + x, которые меньше 2!

А. Да, теперь я уверена, что наша закономерность верна.

Б. Какое облегчение. Я могу обойтись без формального до- казательства. Я знаю, что все верно.

А. Интересно, может ли наше правило для 1+ x быть частным случаем более общего правила? Что-то вроде

y + x = (y + X _L,y + X _R)?

 

Это было бы проще, чем замудреное правило Конвея.

2

Б. Звучит логично, поскольку прибавление y должно «сдви- гать» все на y единиц. Ан нет, возьмем x = 1. Тогда y +1 должно быть ({ y }, ∅), а это не верно при y = 1  .

А. Жалко. Между прочим, твое правило для 1+ x тоже не работает при x = 0.

Б. Действительно, я доказал его только для положитель- ных x.

А. Нам нужно внимательнее рассмотреть правило (3) — пра- вило сложения — и понять, что можно доказать в общем виде. Все что у нас есть — это названия чисел. Эти названия должны быть верны, если числа Конвея ведут себя как настоящие числа, но мы не знаем, что правила Конвея это обеспечивают. Было бы здорово вывести целую кучу вещей из нескольких базовых правил.

56

Б. Давай посмотрим. Во-первых, очевидно, что для сложения выполняется свойство, которое мы бы назвали коммута- тивностью:

x + y = y + x.                                                         (T9)

 

А. Правильно. Теперь давай докажем утверждение Конвея о том, что

x +0 = x.                                                             (T10)

Б. Правило гласит, что

x +0 = (X _L + 0, X _R + 0).

Мы опять проводим индукцию по дню творения. Можно считать, что X _L +0 совпадает с X _L, а X _R +0 совпадает с X _R, поскольку все числа из этих множеств были сотво- рены раньше x. Что и требовалось доказать.

А. Но ведь мы доказали, что x +0 ≡ 0, а не = 0?

Б. Ну ты и зануда. Если хочешь, я заменю теорему (T10), на самом деле разницы нет никакой. Разве из доказательства не видно, что x +0 представляет собой в точности ту же пару множеств, что и x?

А. Прости меня еще раз. Ты прав.

Б. У нас уже десять теорем. Мы в ударе, может быть, еще что-нибудь попробуем?

 

 

 

 

57

Глава 10

ТЕОРЕМЫ

А. Как насчет ассоциативного закона:

(x + y)+ z = x + (y + z)?                             (T11)

 

Б. Вряд ли нам понадобится эта теорема; она не возникала в ходе вычислений. Но попробовать не вредно, и мои учителя математики считали, что она классная. Итак, ассоциативный закон выходит на сцену. Ты можешь пред- ложить определение?

А. (x + y)+ z =

= (((X _L + y)+ z) ∪ ((Y _L + x)+ z) ∪ (Z _L + (x + y)),

((X _R + y)+ z) ∪ ((Y _R + x)+ z) ∪ (Z _R + (x + y)));

x + (y + z)=

= ((X _L + (y + z)) ∪ ((Y _L + z)+ x) ∪ ((Z _L + y)+ x),

(X _R + (y + z)) ∪ ((Y _R + z)+ x) ∪ ((Z _R + y)+ x));

Б. Здорово ты управляешься с этими сложнющими формула- ми. Но как можно доказать, что эти монстры равны?

А. Не так сложно, нужно только использовать сумму дней творения для элементов x, y, z, как мы это делали раньше. Смотри, (X _L + y)+ z = X _L + (y + z), так как у чисел x _L, y,z сумма дней творения меньше, чем у x, y, z, и можно по ней провести индукцию. То же самое нужно сделать для остальных пяти множеств, при этом в некоторых случаях прибегнуть к коммутативному закону.

Б. Мои поздравления! Снова Ч. Т. Д., и снова доказательство отношения = вместо ≡.

≡

А. На этот раз меня немного беспокоит. Мы показали, что

можем заменять похожие элементы на похожие элементы относительно < и, но разве мы не должны проверить такую возможность для сложения? Я имею в виду, разве мы не должны убедиться, что

если x ≡ y, то x + z ≡ y + z?                 (T12) Б. Думаю, что должны. В противном случае мы, строго говоря, не имеем права делать те упрощения, что делали, когда давали имена числам. Раз уж мы доказываем, давай

доказывать строго.

А. На самом деле мы можем доказать еще более строгое утверждение:

если x y, то x + z  y + z.                        (T13) Отсюда (T12) будет следовать сразу же.

≡

Б. Разумеется, ведь x y выполняется тогда и только тогда, когда x y и y x. И потом, теорема (T13) может быть полезна сама по себе. А может быть, мы должны доказать еще более сильное утверждение:

если x  y и w< z, то x + w y + z?

 

60

А. Да нет, оно же следует из (T13), ведь x + w y + w =

= w + y z + y = y + z.

Б. Это хорошо, потому что (T13) проще. Ну что, эксперт по формулам, чему эквивалентна теорема (T13)?

А. Мы должны доказать, что если X _L < y и x < Y _R, то

X _L + z < y + z, Z _L + z < y + z, x + z < Y _R + z и x + z < Z _R + y.

Б. Опять индукция по сумме дней творения? Как-то все слишком просто.

А. В этот раз не все так просто. Боюсь, что индукция даст нам лишь X _L + z y + z и так далее. Может случиться так, что x _L < y, но x _L + z ≡ y + z.

Б. И правда. Это интересно. Нам здесь нужно обратное

утверждение:

если x + z y + z, то x  y.                        (T14)

А. Прекрасно! Это обратное утверждение можно сформули- ровать так. Пусть X _L + z< y + z, Z _L + z< y + z, x + z< Y _R + z и x + z< Z _R + y, тогда X _L <y и x< Y _R.

≡

Б. Гм... Обратное можно было бы доказать по индукции, за исключением одного случая. Может ведь оказаться, что, скажем, x _L + z<y + z, но x _L y. Конечно, теорема (T13) исключает такую возможность, но...

А. Но нам нужна теорема (T13), чтобы доказать (T14), а (T14) — чтобы доказать (T13). И еще (T13), чтобы до- казать (T12).

Б. Мы опять ходим по кругу.

А. Но в этот раз мы можем из него вырваться — мы до- кажем их одновременно! Мы докажем комбинированное утверждение «(T13) и (T14)» индукцией по сумме дней творения (x, y, z)!

Б (просияв). Алиса, ты гений! Прекраснейший и соблазни- тельный гений!

А. Не так быстро, нам все же предстоит кое-что сделать.

Нужно доказать, что

x − x ≡ 0 .                                                              (T15)

Б. Что это за минус? Мы никогда не записывали законов Конвея для вычитания.

61

А.  x − y = x + (− y) .                                                     (5)

−

≡

Б. Я заметил, что ты поставила в теореме (T15). Ясно, что x + (x) не будет тождественно равно нулю — числу с пустыми левым и правым множествами, — если только x не есть 0.

А. Правила (3), (4) и (5) говорят, что теорема (T15) эквива- лентна вот чему:

 (X _L + (− x)) ∪ ((− X _R)+ x),

(X _R + (− x)) ∪ ((− X _L)+ x) ≡ 0.

≡

Б. Выглядит неаппетитно. В любом случае, как можно по- казать, что что-то тождественно равно 0?... По теоре- ме (T8) y 0 тогда и только тогда, когда Y _L < 0 и 0 < Y _R, поскольку 0 — самое первое сотворенное число.

А. То же утверждение следует из правила (2); то есть y 0 тогда и только тогда, когда Y _L < 0, и 0 y тогда и только тогда, когда 0 < Y _R. Поэтому мы должны доказать только, что

x _L + (− x) < 0 и  (− x _R)+ x< 0

и  x _R + (− x) > 0 и  (− x _L)+ x> 0

для всех x _L из XX _L и x _R из X _R.

А. Да, ведь мы можем доказывать теорему (T15) по индук- ции.

−

−                                  −    −

−                                              −

−

Б. Тогда все получается! Если бы x _L + (x) было 0, то (X) _R + x _L > 0 по определению. Но (X) _R — это мно- жество (X _L), оно содержит элемент x _L, а (x _L)+ x _L не больше 0. Поэтому сумма x _L + (x) должна быть меньше 0, причем этот метод доказательства годится и для остальных случаев.

А. Браво! Это доказывает (T15). Б. Что следующее на очереди? А. Как насчет такой теоремы:

− (− x)= x.                                                           (T16)

Б. Это тривиально. Следующие?

62

А. Мне в голову приходит только теорема Конвея

(x + y) − y ≡ x.                                                    (T17)

Б. А чему это эквивалентно?

А. Тут такая путаница... Можем мы строить доказательства, не обращаясь каждый раз к определениям?

Б. Да это получается, можно сказать, само собой:

(x + y) − y = (x + y)+ (− y) согласно (5)

= x + (y + (− y)) согласно (T11)

= x + (y − y)   согласно (5)

= x +0      согласно (T12) и (T15)

= x                    согласно (T10).

Мы получили много полезных результатов — даже ассоци- ативный закон пригодился. Спасибо, что ты его предло- жила, невзирая на мои возражения.

А. Так, похоже, что мы исчерпали возможности сложения, противоположных чисел и вычитания. Есть еще пара утверждений, которые мы могли бы доказать, что-то вроде

− (x + y)= (− x)+ (− y);                             (T18)

если x  y, то − y − x,                                  (T19)

но по-моему, они не содержат никаких новых идей, так что нет особого смысла их доказывать, особенно если мы не собираемся ими пользоваться.

Б. Девятнадцать теорем, и все получились из небольшого числа довольно-то примитивных правил.

А. А теперь ты должен вспомнить свое обещание: сегодня после обеда у нас никакой математики, мы даже не смот- рим на Камень. Я не хочу, чтобы это ужасное умножение лишило тебя сна.

Б. Сегодня мы славно поработали — все задачи решены. Смотри, опять прилив. Ладно, кто последний добежит до воды, тот готовит ужин!

 

 

63

Глава 11

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

А. Ужин был просто супер.

 

Б (ложась рядом). Это все потому, что ты наловила свежей рыбы.

 

О чем ты сейчас думаешь?

 

А (краснея). Ну, задумалась вот что будет, если я забере- менею.

Б. Ты думаешь, раз мы здесь, в районе Благодатного Полу- месяца 1), и...

А. Очень смешно. А после всех наших трудов по доказатель- ству равенства 1+1 = 2 мы сделаем открытие, что 1+1 = 3.

Б. Ладно, твоя взяла, шутки в сторону. Но ты только по- думай, правила Конвея для множеств — как акт соития. В смысле левое множество встречается с правым...

А. У тебя на уме только одно — ладно, и еще одно. Но если серьезно — что бы мы сделали, если я бы действительно забеременела?

Б. Думаю, нам так и этак в скором времени придется возвра- щаться домой; деньги на исходе, и погода становится все хуже.

В любом случае, я очень хочу жениться на тебе, беременна ты или нет. Если ты согласна, конечно же.

А. Я чувствую то же самое. Это путешествие доказало, что мы готовы к постоянным отношениям.

Интересно... Когда наши дети подрастут, мы их научим нашей теории чисел?

Б. Нет, им будет интереснее, если они сами ее откроют.

А. Но люди не могут сами открывать все; должен быть какой- то баланс.

Б. А разве обучение — это не процесс самостоятельного позна- ния? Разве лучшие учителя не помогают ученикам думать самостоятельно?

А. В каком-то смысле это так. Что-то мы ударились в фило- софию.

Б. Я никак не могу поверить, как здорово я себя чувствовал, когда занимался этой сумасшедшей математикой; она ме- ня по-настоящему заводит, хотя я и ненавидел ее прежде.

А. Мне тоже понравилось. Я думаю, это лучше наркотиков; в том смысле, что мозг может стимулировать сам себя естественным образом.

1)Благодатный Полумесяц — условное название региона на Ближнем Восто- ке, в котором в зимние месяцы наблюдается повышенное количество осадков. Местность была так названа из-за ее богатой почвы и формы, напоминающей полумесяц. — Прим. перев.

66

Б. И к тому же математика — это еще и афродизиак.     А (любуясь звездами). У чистой математики есть одна пре-

красная особенность: то, что мы сегодня доказали, — со-

вершенно бесполезная вещь, и никто не использует это, чтобы делать бомбы или еще что-то в этом роде.

Б. Правильно. Но мы ведь не можем все время просидеть в башне из слоновой кости. В мире много проблем, и ма- тематика может помочь с ними справиться. Ты знаешь, мы так долго обходились без газет, что позабыли о всех проблемах.

А. Иногда я даже чувствую себя виноватой...

Может быть, подходящая область математики и помогла бы решить эти проблемы, но меня беспокоит, что она может быть использована в дурных целях.

Б. Это парадокс и дилемма. Ничего нельзя добиться без подходящих инструментов, но инструменты могут быть использованы как во благо, так и во зло. Если мы прекра- тим творить новое, чтобы оно не попало в дурные руки, то прекратим создавать и полезные вещи.

А. Ладно. Я согласна, что чистая математика не дает ответа на все вопросы. Но разве ты готов совсем отказаться от нее только потому, что она не решает мировых проблем?

Б. Нет, пойми меня правильно. Эти несколько дней убедили меня, что чистая математика прекрасна — это вид искус- ства, как поэзия, живопись или музыка; она нас заводит. Наше естественное любопытство должно быть удовлетво- рено. Мы бы не выжили, если бы у нас не было хоть капли радости, даже во времена невзгод и несчастий.

А. Билл, как мне нравится говорить с тобой так.

Б. Мне тоже. Я чувствую близость с тобой и мир в душе.

 

 

67

Глава 12

КАТАСТРОФА

Б. Ты уже проснулась?

А. Еще час тому назад, и сразу поняла, что в нашем вче- рашнем доказательстве есть большой, просто огромный пробел.

Б. Нет!

А. Боюсь, что все-таки да. Мы забыли доказать, что x + y — это и в самом деле число.

Б. Ты что, издеваешься? Конечно, это число, это же сумма двух чисел! Погоди-ка... Мы должны убедиться, что вы- полняется правило (1).

А. Да, определение сложения не действительно, пока мы не докажем, что X _L + y < X _R + y, X _L + y < Y _R + x, Y _L + x < X _R + y и Y _L + x < Y _R + x.

Б. Это могло бы следовать из теорем (T13) и (T14), но... Теперь я тебя понимаю, мы доказали эти теоремы в пред- положении, что сумма двух чисел — это число. Как тебе вообще в голову пришла эта мысль?

А. О, это довольно интересно. Я пыталась понять, что было бы, если определить сложение как-то так:

x ⊕ y = (X _L ⊕ Y _L, X _R ⊕ Y _R).

⊕

⊕

Я поставила знак, потому что вообще-то не ясно, что это та же операция, что и +. Довольно легко понять, что — коммутативная и ассоциативная операция, так что мне стало интересно, что она из себя представляет.

Б. Да, действительно; сумма x и y лежит между X _L + Y _L и X _R + Y _R, поэтому новое определение могло оказаться проще Конвеевского.

А. Но мои надежды скоро рассеялись, когда я обнаружила, что

0 ⊕ x =0

для всех x.

Б. Упс! Может быть, ⊕ означает умножение?

А. Потом я доказала, что 1 ⊕ x =1 для всех x > 0, что 2 ⊕ x =2

для всех x > 1, 3 ⊕ x =3 для всех x > 2,...

⊕

Б. Ясно. Для всех пол