Декарт в письме Мерсенну 18 января 1638 года

 

Пьер де Ферма был, в первую очередь, математиком. Ученый проявлял лишь незначительный интерес к физике, к тому, что тогда называлось "натурфилософией". Он ограничился некоторыми комментариями в защиту идей по геостатике его друга Бограна и знаменитой полемикой с Декартом по оптике. Ферма не сам вступил в эту полемику. Он подумал, будто Мерсенн и Богран просят его прокомментировать работу Декарта, и сделал это с наилучшими намерениями, не осознавая, что его поступок приведет к вражде с философом.

Возражения Ферма в 1637 году, когда его переписка с Мерсенном только начиналась, носили в основном философский характер. Математик был убежденным сторонником эмпиризма, с которым он ознакомился благодаря Фрэнсису Бэкону.

Он считал, что истину в физических науках можно найти только посредством эксперимента, как это делал Галилео Галилей. Декарт же, согласно Ферма, отступал на шаг назад, пользуясь рациональным, полностью аристотелевским методом для того, чтобы попытаться дойти до истин, связанных с природой.

На первую критику Ферма "Диоптрики" повлиял и еще один момент. Декарт не стал публиковать одно из приложений к своей работе, "Трактат о свете", в котором он объяснял свои физические воззрения, из‑за страха перед инквизицией. Не так давно был осужден Галилей, а Декарт так же, как и Галилей, был сторонником гелиоцентрической системы. Поэтому Декарт воздержался от публикации и лишил "Диоптрику" физического обоснования, оставив ее простым математическим трактатом. Следовательно, Ферма не мог узнать о физических идеях Декарта. Он был знаком только с его общей рациональной методикой. И математические принципы "Диоптрики" представились ему произвольными, не имеющими никаких оснований.

Далее посмотрим на то, чего Ферма не знал. Свет для Декарта – это импульс, который передается посредством столкновения между очень легкими частицами, такими как бильярдные шарики (практически вся декартова физика основывается на столкновениях). В качестве сравнения Декарт говорил о трости слепого, которая, сталкиваясь с чем‑нибудь, передает импульс от этого удара руке слепого. Свет поступает с глазом подобным образом, а трость – это последовательность частиц, сталкивающихся друг с другом. Кроме того, их перемещение мгновенно.

 

 

ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ

 

Зеркальное отражение (рисунок 1) происходит, когда свет полностью или частично отражается отражающей поверхностью, такой как металл или лужа воды. Как мы сегодня знаем (хотя это считалось спорным в XVII веке), в законе отражения света говорится следующее.  

1. Падающий луч РО, отраженный луч OQ и нормаль находятся в одной и той же плоскости, и эта плоскость перпендикулярна поверхности.  

2. θ_i =θ_r.  

З. РО и OQ находятся с противоположных сторон от нормали.  

Преломление (рисунок 2) наблюдается, когда свет переходит из прозрачной среды некоторой плотности в среду с другой плотностью. Все мы сталкивались с ситуацией, когда ложка, частично опущенная в воду, кажется "сломанной". В законе преломления, известном как закон Снелла, говорится, что синус угла между падающим лучом и нормалью так относится к синусу угла между нормалью и преломленным лучом, как соответствующие скорости и обратные показатели преломления друг к другу:  

sinθ₁/sinθ₂ = v₁/v₂ = n₁/n₂  

РИС. 1

РИС. 2

 

 

Декарт продолжал рассуждать о том, что импульс, поскольку это "сила" (декартова сила – не то же самое, что ньютоновская, к которой мы привыкли), может быть разложен на векторы. На основе этого он выводил законы отражения: для него они были подобны удару бильярдного шарика о неподвижную стену (как можно заметить, такой удар имеет сходство с отражением света: угол, под которым шар ударяется о стену, равен углу, под которым он отскакивает от нее). В очень спорном виде Декарт вывел закон преломления (то, что мы сегодня знаем как закон Снелла) из гипотезы о том, что при изменении среды на более плотную свету нужно затрачивать больше усилий для перемещения.

У модели Декарта была одна проблема: во вселенной бильярдных шаров при изменении среды, например при проникновении через очень тонкую ткань, угол между траекторией шара и нормалью к границе сред увеличивается. В оптике же, наоборот, наблюдается уменьшение угла. Для устранения данного противоречия Декарт придумал физическую уловку: объяснение специально для этого случая, не имеющее никакой основы. Оно имеет смысл, только если известны принципы декартовой физики. Обоснование теории света Декарта находится в его физике, а не в его математике.

Ферма был не в курсе, что ему нужно знать декартову физику для понимания "Диоптрики". В свою очередь ни Декарт, ни его последователи не знали, что Ферма не знаком с декартовой физикой. Они думали, что Ферма просто не понимает ее. Тулузский ученый, в свою очередь, считал неоправданными выводы Декарта. Он снова погрузился в бессмысленный спор, один из тех споров, в которых Ферма часто участвовал в течение своей жизни. Возможно, декартова физика вызвала бы у Ферма протест, поскольку Декарт ошибался, когда сводил все к столкновениям между частицами.

Полемика в тот раз завершилась достаточно быстро. Но в 1658 году Клод Клерселье связался с Ферма, чтобы проконсультироваться у него по поводу этого спора, поскольку он готовился издавать письма Декарта. Клерселье только поинтересовался, были ли еще письма Ферма, кроме тех двух, что он нашел, но тот ответил длинным письмом, в котором, к возражениям, выдвинутым в 1637 году, добавил новые. К своему удивлению Клерселье увидел, что Ферма хочет возобновить полемику.

Памятная марка, посвященная Великой теореме Ферма.

Нидерландский математик Христиан Гюйгенс был одним из пионеров в разработке теории вероятностей.

Монастырь августинцев в Тулузе, где Ферма перезахоронили через десять лет после его смерти.

 

В то время Декарт уже умер, но неприятие Ферма человека, который презрел его и попытался запятнать его репутацию, не прошло. Также возможно, что в этот период Ферма, огорченный многочисленными неудачными попытками заинтересовать современников теорией чисел, считал, что атаки Декарта способствуют формированию такого отношения к его работам. Его характер, сначала уступчивый в споре, испортился. Как бы то ни было, Клерселье и другой французский математик, Жакоб Ро, ответили, защищая Декарта. Ферма не сдался и настаивал на своем, и эта новая полемика длилась четыре года. Отсутствие интереса, которое ученый продемонстрировал в 1637 году из‑за того, что спор был связан с вопросами физики, полностью исчезло: он был готов к битве.

Так сложилось, что Ферма в силу своей профессии был в постоянном контакте с Мареном Кюро де ла Шамбром, секретарем канцлера Сегье. С ним ученый, который в то время был представителем парламента, должен был вести официальные дела. У Кюро де ла Шамбра также были научные интересы, и он на тот момент недавно, а именно в 1657 году, опубликовал книгу по оптике под названием "Свет", посвященную кардиналу Мазарини. Кюро послал экземпляр Ферма, ученый прочитал его и ответил, выразив свое согласие с Кюро и радость от того, что его работа "заставит месье Декарта и всех его друзей перейти от наступления к обороне".

Кюро постулировал физический принцип, известный со времен античности: "Природа всегда выбирает самый короткий путь". Данный принцип был сформулирован отдельно для случаев отражения Героном Александрийским (ок. 10‑70). Кюро, согласный с Героном, ограничивал этот принцип отражением. Ферма, наоборот, обобщал его до преломления, добавив гипотезу того, что отношение между сопротивлением при переходе света от одной среды к другой определяет самую короткую траекторию. Как и обычно, он не доказал то, что утверждал.

Детальный анализ рассуждений Ферма показывает, что он не вычислял самый короткий путь. На самом деле он вычислял самое короткое время. Ферма изменил принцип Герона: он измерял не расстояния, а время. Тогда почему тулузский ученый попытался замаскировать свое рассуждение, основывая его на авторитете греческого математика? С одной стороны, он изменил своему эмпирическому убеждению. Принцип Ферма, как его называют сейчас, был в то время в большей степени аксиоматическим постулатом, чем эмпирическим результатом. Ферма для борьбы с Декартом принял его понятия: математизация природы и отказ от эмпиризма, рассуждения на основе постулатов, как будто физика – это ветвь математики.

Но, что самое важное, Ферма прибегнул к авторитетному принципу и замаскировал свой настоящий метод. Ясно почему: как Кюро, так и Декарт думали, что свет распространяется мгновенно, то есть, выражаясь иначе, что его скорость бесконечна. Но для того чтобы говорить о времени, которое затрачивает свет на пересечение заданной среды, нужно предположить, что скорость света конечна. Без сомнения, Ферма хотел избежать этой полемики, в которой у него не было прочных аргументов, и он пообещал прислать Кюро доказательство закона преломления, основанное на этом принципе. Четыре года спустя он все еще не выполнил своего обещания. Кюро умолял его взяться за работу, но Ферма отвечал, что у него нет времени осуществлять необходимые сложные вычисления. Однако в конце концов тулузский математик согласился и вывел закон преломления из принципа, носящего его имя, пользуясь методом максимумов и минимумов.

Удивительно, как у Ферма темы повторяются снова и снова. С другой стороны, это логично: принцип Ферма является примером того, что в физике известно как экстремальные принципы, которые требуют вычисления максимума или минимума, в данном случае минимального времени. Формулирование механики или оптики в терминах этих принципов имеет огромное значение. В механике, например, экстремальные принципы более существенны, чем законы Ньютона, и имеют более широкое применение: принцип наименьшего действия справедлив как для ньютоновской механики, так и для релятивизма или квантовой механики; меняется только детальное определение того, что нужно минимизировать. Следовательно, Ферма снова применил подход, имевший огромное будущее.

В любом случае, герою нашей книги удалось вывести закон преломления на основе своего принципа, который на этот раз действительно был постулатом в открытом виде. И к его огромному удивлению это оказался тот же самый закон, который получил Декарт! Конечно же, вывод Ферма был намного лучше. Во‑первых, он основывался на очень элегантном и простом принципе, который, как мы сейчас знаем, имеет всеобщее применение в оптике, и при этом нет необходимости строить гипотезы о природе света (только о конечности его скорости). Во‑вторых, не нужно строить гипотезы специально для этого случая. Он естественным образом выводится из самого принципа.

Ферма был счастлив. Он надеялся, что теперь картезианцы увидят подтверждение закона преломления, который, в свою очередь, был выведен гораздо более убедительно, чем у Декарта. Однако снова находчивость нашего героя обманула его ожидания. Строгие картезианцы, такие как Клерселье, не могли уступить и бросить своего учителя. Полемика продолжилась, на этот раз сосредоточившись на выводе Ферма.

Есть некая ирония в том, что последнее известное письмо Ферма на научную тему, увидевшее свет в 1662 году, было создано им для защиты своего вывода. И это при том, что он выказывал так мало интереса в течение всей карьеры к математической физике. Мы знаем, по его последнему письму Паскалю, что уже с 1660 года Ферма чувствовал себя больным и не был в силах совершить поездку в Клермон. В следующем году он сделал распоряжения о том, чтобы его сын Клеман‑Самюэль унаследовал его должности. Ученый чувствовал, что приближается конец.

Начиная с 1662 года о жизни Ферма, его последних годах, известно немного, и то благодаря его профессиональной деятельности. В 1663 году губернатор Лангедока, Везен де Безон, написал Кольберу письмо, в котором характеризовал советников парламента Тулузы, называя Ферма большим эрудитом, политически безобидным и даже несколько неуклюжим в профессиональных вопросах. Ни Сегье до этого, ни Кольберу не стоило бояться наивного судьи, ученого, который отдыхал среди математических истин, убегая от политики.

Но судья продолжал работать. Его чувство долга было исключительным. Как уже было сказано, оно часто мешало герою этой книги следовать своему желанию и посвящать математике больше времени. Он продиктовал свой последний судебный акт 9 января 1665 года. Всего лишь через три дня Пьер де Ферма умер в Кастре – городе, с которым так тесно была связана его профессиональная карьера, – и был похоронен без почестей на местном кладбище. Хвалебная речь в честь него была опубликована, вероятно, Пьером де Каркави в "Журналь дэ саван" (Journal des Savants) 9 февраля 1665 года. В ней он выражал озабоченность тем, чтобы разрозненные труды Ферма были изданы в одном произведении и мир увидел бы его гениальность:

"С большой грустью мы узнали о смерти месье де Ферма, советника парламента Тулузы. Это был один из самых блестящих умов этого века, универсальный гений такого высокого уровня, что если бы ученые не были свидетелями его необычайного таланта, мы едва поверили бы всему, что он сделал, и могли бы преуменьшить его похвалу".

Любовь сына Клемана‑Самюэля, который терпеливо собирал труды отца, была первым шагом к сохранению его наследия. Также Жак де Билли и Джон Уоллис, каждый по отдельности, опубликовали фрагменты из работы Ферма. Однако этого было недостаточно; важные письма, находившиеся у Каркави (которые он по необъяснимым причинам не предоставил наследнику) и у многих других корреспондентов, были опубликованы очень поздно. Письма Ферма неизбежно терялись по мере того, как умирали адресаты. Только в XIX веке один библиофил объявил, что купил значительную часть рукописей Ферма в Меце. Из‑за революционных событий 1848 года коллекция снова затерялась. Но между 1879 и 1891 годами Шарль Анри и Поль Таннери провели титаническую работу по восстановлению работ ученого на основе опубликованных сочинений и частных коллекций. Благодаря им его наследие дошло до нас.

Ферма был перезахоронен в знаменитой и прекрасной церкви августинцев в Тулузе через десять лет после смерти. Там один из самых блестящих умов всех времен покоился в течение более 100 лет – до тех пор, пока в период Французской революции его останки не были утеряны.

 

 

Список рекомендуемой литературы

 

Alsina Barnes, С., La secta de los numeros: el teorema de Pitdgoras, Barcelona, RBA, 2010.

Bell, E.T., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.

Boyer C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.

Du Sautoy, M., La musica de los numeros primes, Barcelona, El Acantilado, 2007.

Fermat, P.; Pascal, B., La geometria del azar (la correspondencia entre Pierre de Fermat у Blaise Pascal), Basulto Santos, Jesus; Camunez Ruiz, Jose Antonio (ed.), Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2007.

Gonzalez Urbaneja, P.M., Fermat у los origenes del cdlculo diferencial, Tres Cantos (Madrid), Nivola, 2008.

Gracian, E.: Los mimeros primes: un largo camino al infinite, Barcelona, RBA, 2010.

Mahoney, M.S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat 1601‑ 65, Princeton, Nueva Jersey, Princeton University Press, 1973.

Navarro, J., Al otro lado delespejo: la simetria en matemdticos, Barcelona, RBA, 2010.

Singh, S., El enigma de Fermat, Barcelona, Planeta, 2006.

Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.

 

 

Указатель

 

AKS (см. также тест простоты, AKS) 78, 79

Isagoge 11, 104, 108, 109, 110, 124

Methodus 11, 116, 119‑121, 123‑127

RSA (шифровальный алгоритм) 76‑79

Абель, Нильс Хенрик 58, 59

аль‑Хорезми, Мухаммед ибн Муса 96

анализ (алгебра) 72, 97, 98, 102, 140, 150

аналитическая геометрия 10, 93, 103‑111, 115, 121, 123‑125, 130, 134

аналитическое исследование 11, 116, 119, 121, 123, 127

Аполлоний Пергский 9, 27, 30, 40, 95, 103‑105, 107, 108, 110, 120‑ 122, 125, 130

арифметика 25, 84, 88, 99

"Арифметика" (Диофант) 15, 31, 46, 63, 71, 81, 85, 87

Архимед Сиракузский 8, 9, 27, 65, 128‑131

Баше де Мезириак, Клод Гаспар 81, 83

Белл, Эрик Темпл 28

Бернулли (семья) 110, 143

бесконечность простых чисел 69

Богран, Жан де 11, 30, 100, 115, 124‑125, 137, 146

Бойер, Карл 108

Бордо 11, 29, 30‑32, 34, 35, 99, 103, 115

Браункер, Уильям 11, 87‑90

Брюлар де Сен‑Мартен, Пьер 11, 82‑84, 116

вероятность 10, 11, 84, 139, 140, 142, 143, 149

Виет, Франсуа (Францискус Виета) 25, 29, 30, 39, 45, 82, 91, 96‑106, 111, 115‑117, 119, 122, 124, 128

Вольфскель, Пауль 52

Галилей, Галилео 108, 129, 145, 146

Галуа, Эварист 16, 58, 59

Гаусс, Карл Фридрих 8, 48, 49, 65, 86

Генрих IV 32

геометрическое место точек 105, 106, 108‑110

"Геометрия" (Декарт) 107, 122‑125, 127, 128

"Геостатика" (Богран) 124

Гедель, Курт 8

гипербола 107, 110, 130, 131

Гиппас из Метапонта 24

Гольдбах, Христиан 40, 47, 48

Гюйгенс, Христиан 11, 38, 90, 91, 130, 143, 145, 149

"Данные" (Евклид) 110

Дедекинд, Рихард 51

Дезарг, Жерар 128

Декарт, Рене 8, 11, 25, 28, 32, 34, 35, 37, 70, 91, 97, 99‑102, 104‑108, 111, 115, 116, 123, 132, 134, 135, 137, 145, 146‑148, 150‑152

Дигби, Кенельм 34, 86, 89‑90

"Диоптрика" 124‑126, 145, 146, 148

Диофант Александрийский 7, 9, 15, 27, 31, 39, 40, 43, 46, 63, 71, 72, 81‑83, 86, 95, 96, 117, 130, 153

Дирихле, Густав Лежён 49

Евклид Александрийский 8, 9, 22, 23, 27, 39, 40, 67, 68, 70, 71, 75, 81, 95, 99, 111, 116, 133

Жермен, Софи 46, 48, 49

интегрирование 53, 131

иррациональность у/2 25

Каркави, Пьер де 35, 80, 91, 152, 153

касательная 10, 11, 116, 119, 120‑ 123, 126‑128, 131‑133, 145

Катц, Ник 62 квадратура 10, 128‑133

Коммандино, Федерико 116

"Конические сечения" (Аполлоний) 111

коническое сечение 106‑109, 120, 129, 138

Коши, Огюстен Луи 50, 51, 60, 62, 86, 119

круг 22, 54, 103, 104, 108, 111, 120, 122

Куммер, Эрнст Эдуард 50, 51, 59‑63

Лагранж, Жозеф Луи 48, 86, 119

Лалувер, Антуан де 132

Ламе, Габриель 50, 51, 62

Лейбниц, Готфрид Вильгельм 8, 79, 110, 119, 134

Лорандьер, Клод Мартен де 88, 89

Мере, Антуан Гомбо, шевалье де 137, 138, 139

метод касательных 126, 127

квадратуры 128

максимумов и минимумов 11, 103, 116, 118, 120, 126, 133, 151

Мияока, Иоичи 60, 62, 63

Мерсенн, Марен 11, 34‑38, 68‑72, 74, 75, 76, 80, 82, 84, 87, 104, 115, 124‑126, 129, 137, 143, 145, 152

Медон, Бернар 11, 35, 38

модулярные функции 16, 54, 55, 56

Нантский эдикт 32, 33

"Начала" (Евклид) 9, 23, 67, 71, 138

Ньютон, Исаак 8, 9, 16, 110, 119, 133, 134, 146, 152

оптика 135, 145, 148, 150, 151

ординаты 108, 109

ось координат 108, 109, 123, 129

отражение 146, 147, 150

Папп Александрийский 30, 97, 104, 107, 116, 119

парабола 105, 107, 109, 110, 111, 120, 121, 126, 127, 130, 133, 134

кубическая, или обобщенная 129, 132

Паскаль, Блез 11, 35, 38, 86‑88, 91, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 144, 152

Паскаль, Этьен 34, 70, 87, 127, 137

Пелль, Джон 11, 86‑88, 90

Пифагор Самосский 18, 19, 20, 22, 23, 24, 27, 81

подкасательная 121

преломление 147, 150, 151, 152

приравнивание 117, 118, 121, 122, 127, 128, 131‑133

прямоугольный треугольник 22, 24

разложение на множители 50, 51, 71, 76‑78, 83

единственное 50, 51

"Рассуждения о философии" 101

Рибет, Кен 57, 63

Риман, Бернхард 8, 78

Римана гипотеза 40, 44, 78

Роберваль, Жиль де 38, 39, 104, 123, 124, 125, 127, 130, 131, 140

Симура, Горо 16, 54‑58, 60, 63, 134

синкризис 117, 118

синтез (доказательство) 11, 96, 97, 98, 103, 110, 134

сочетания 70, 141, 142

спрямление 10, 11, 131‑133

Танияма, Ютака 55, 60, 134

Таниямы – Симуры гипотеза 16, 53, 56‑58, 63

Тарталья (Никколо Фонтана) 26

Тейлор, Ричард 62

теория вероятностей 10, 11, 84, 139, 142, 143, 149

групп 51, 57‑59

Ивасавы 16, 60, 63

идеалов 50, 63

тест простоты

Миллера – Рабина 77, 78

Соловея – Штрассена 78

Ферма 76

AKS 78

тройки

пифагоровы 19, 80

Ферма 19

Тулуза 8, 11, 29‑36, 72, 104, 115, 125, 149, 152, 153

Тьюринг, Алан 8

Уайлс, Эндрю 16, 17, 43, 56‑63, 134

угловой коэффициент 123, 134

уравнение Пелля И, 86‑91

Ферма 49‑53, 90, 97

Уоллис, Джон 11, 37, 86‑90, 131, 153

Фалес Милетский 20

Фальтингс, Герд 52, 53, 60, 63

Ферма, Клеман‑Самюэль 32, 39, 40, 130, 152, 153

Ферма, Пьер де биография личности 28

малая теорема 11, 71, 75‑80, 98

математический подход 37

Великая (Последняя) теорема 7, 8, 17‑19, 40, 43, 44, 46, 48‑53, 56‑58, 63, 75, 80, 81, 89, 97

принцип 150, 151

судья в Тулузе 30, 137, 150, 152

уравнение 49, 52, 90, 97

Фрай, Герхард 56, 57, 63

Френикль де Бесси, Бернар 11, 72, 74, 75, 76, 83, 86, 88, 89, 90

Харди, Годфри Харолд 24, 53, 76

Хейнсиус, Николас 35, 38

числа k‑совершенные, или мультисовершенные 70, 71

дружественные 69, 70

комплексные 50, 51, 54

Мерсенна 68, 74, 75, 79

натуральные 18, 19, 24, 43, 46, 51, 52, 72, 76, 81, 84

простые 43, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 61, 67‑72, 74‑80, 82, 83, 86, 90

вида 4к + 183, 90

Мерсенна 68 Ферма 79

рациональные 24, 71, 72, 78, 80, 81, 128, 129

совершенные 67‑70, 80 составные 72, 77, 78

целые 25, 51, 54, 130

Эйлер, Леонард 7, 8, 44, 46, 47, 49, 52, 63, 68, 75, 79, 80, 89., 90

эллипс 54, 107, 111, 126, 127

эллиптические кривые 16, 54, 55, 57

эффективность вычислений 73

 

 

 

Пьер де Ферма ‑ исключительная личность в истории науки: будучи адвокатом по профессии, он посвящал математике только свободные часы. Его научное наследие по большей части сохранилось в виде писем, которыми он обменивался с другими светилами своего времени, такими как Марен Мерсенн, Блез Паскаль или Рене Декарт. Гениальность этого французского ученого, несмотря на его дилетантизм, проявилась в разнообразных областях: в теории вероятностей, математическом анализе и особенно в теории чисел, в рамках которой он выдвинул гипотезу, озадачившую самых значительных математиков на более чем три века. Историю решения задачи, известной как Великая теорема Ферма, можно назвать одной из самых красивых легенд научного мира.