Метод максимумов и минимумов Ферма

Проиллюстрируем метод примером: разделим отрезок АE точкой Е так, чтобы АЕ ∙ ЕВ было максимумом.  

Пусть АВ = b.  

1. Тогда если АЕ = а,ЕВ = b ‑ а.  

2. Следовательно, произведение, максимум которого нужно найти, равно ab ‑ а².  

3. Теперь заменим изначальную неизвестную а на а + е, то есть на другой корень. Следовательно, отрезок АЕ теперь равен а + е, а отрезок ЕВ равен b ‑ а ‑ е, в связи с чем произведение их обоих равно ab ‑ а² + be ‑ 2ае ‑ е².  

4. Приравниваем (2) и (3), так что ab ‑ а² + be ‑ 2ае ‑ е² ≡ ab ‑ а². Упрощаем: be ‑ 2ae ‑ e² ≡ 0 <‑> be ≡ 2ae + e². Эта операция подобна синкризису: осуществляется приравнивание вместо обычного равенства.  

5. Осуществляется деление на е до тех пор, пока в одном из членов не останется ни одного е: b ≡ 2а + е.  

6. Устанавливается, что е равно нулю: b = 2а.  

7. Следовательно, а = b/2  

Очевидно, что речь идет о середине отрезка.  

Ферма воспользовался данным методом для выполнения действий со своим квадратным уравнением в инновационной форме. Он утверждал, что существует один корень х, а другой корень он назвал x + h, где h, как он пояснял, может быть любым значением. Далее следовал решительный и странный шаг. Ферма "приравнял" уравнение со значением х к уравнению со значением х + h: ƒ(х) = ƒ(x + h). Он назвал эту операцию "приравнять", воспользовавшись термином, взятым у Диофанта. Однако на самом деле во всей теории уравнений Виета не существует формального математического обоснования для осуществления этой странной операции.

Далее, в довершение всего, Ферма занялся тем, чтобы исключить некоторые члены, содержащие h, с помощью деления на h:

ƒ(x)/h = ƒ(x + h)/h

Наконец, он постановил, что h равно нулю и, следовательно, оба корня – это один‑единственный корень. Это способ зафиксировать один корень и сделать так, чтобы второй корень равнялся ему. Но на самом деле казалось, что Ферма в данном случае просто разделил на ноль без какого‑либо теоретического обоснования.

Это очень похоже на то, что делают сегодня, когда вычисляют производную, определение которой дал Коши только в XIX веке, и, приравнивая ее к нулю, находят максимумы и минимумы. Такое сходство привело к тому, что некоторые математики (Лагранж, Пьер‑Симон Лаплас) и историки науки считали дифференциальное исчисление изобретением Ферма. К сожалению, они ошибались.

Верно, что Ферма приближался к методам современного дифференциального исчисления. Эта h, по мысли Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона, – бесконечно малая величина, которая, говоря проще, не равна нулю, но может считаться при некоторых обстоятельствах за ноль. Только когда Коши удалось сформулировать понятие предела, эти идеи получили строгое математическое выражение.

Ферма не делал различия между конечными и бесконечно малыми величинами, по крайней мере в своих работах о максимумах и минимумах и касательных, которые появились в относительно раннее время его математической жизни. А это различие является основополагающим. Ферма считал, что А, расстояние от исходного корня, полностью произвольно: оно может быть большим или малым, по желанию. Очевидно, что эта мысль сильно отличается от понятия бесконечно малых, небольшая величина которых должна быть произвольной. На самом деле Ферма никогда не думал, что его максимумы и минимумы могут быть локальными, а не глобальными. Локальный максимум может быть найден только с помощью методов анализа бесконечно малых. В любом случае, справедливо заметить, что с помощью метода Ферма можно было даже определить, является решение максимумом или минимумом.

Предыдущее воспроизведение мысли Ферма основано на "Аналитическом исследовании". Достоверно известно, что тулузец начал с задачи, упомянутой Паппом, а историкам удалось восстановить на основе многочисленных записей его рассуждения. В любом случае, по своей неискоренимой привычке Ферма, даже когда формулировал шаги доказательства в "Аналитическом исследовании", был краток в своих объяснениях. Он опускал некоторые шаги, веря, что читатель сможет заполнить пробелы. Читатель должен был быть эрудитом, знающим наизусть, что такой‑то шаг подтверждается теоремой Аполлония, другой шаг – теоремой Паппа, а третий верен, поскольку это уже доказал Виет. Более того – в изначальном варианте Methodus, как мы уже сказали, не было даже таких набросков доказательства, как в "Аполитическом исследовании"·, ни малейшего обоснования странных действий, которые предпринимал наш герой: Ферма ограничивался тем, что давал алгоритм. Очевидно, что инструкция без малейших объяснений, с делением на нуль, шокировала современников ученого, и те из них, кто приятельствовал с Ферма, попросили у него объяснений, а остальные безжалостно напали на него. Кроме того, Methodus ограничивался решением двух уже решенных задач, в которых находятся касательные к параболам. В сочинении, по крайней мере внешне, не было ничего нового, но содержалось много проблематичного.

Собственно, в Methodus Ферма сформулировал способ нахождения касательной к любой заданной кривой. Он с гордостью говорил, что этот метод абсолютно общий и работает всегда, но не обосновывал своего утверждения. Упомянутый им метод нахождения касательных, естественно, исходил из его же метода максимумов и минимумов. Действительно, Ферма понял, что, так как классические греческие кривые (конические сечения, окружности и прямые линии) были определены через пропорции, решить задачу касательной равносильно тому, чтобы найти минимум некоей пропорции между двумя величинами. Его метод максимумов и минимумов также работал для максимизации или минимизации некоторой величины или пропорции. Следовательно, нахождение касательной было его естественным применением.

Рассмотрим метод Ферма детально. Возьмем параболу, показанную на рисунке. Мы ищем касательную в точке В, прямую ВE. Ферма рассматривал произвольную точку О, внешнюю по отношению к параболе. Здесь ясно видно, что он был еще далек от понятия бесконечно малых; в анализе бесконечно малых точка О должна была находиться произвольно близко к точке В. Затем он рассмотрел свойство параболы, определенное Аполлонием в виде пропорции:

BC²/ZI² ‑ CD/DI,так как OI >ZI, CD/DI > BC²/OI.

По подобию треугольников ВСЕ и OIE получается, что

ВС/OI = СЕ/TE, поэтому CD/DI > CE²/IE².

Пусть CD = d, CI = е и СЕ = а. Этот последний отрезок – подкасательная. Тогда

d/(d ‑ e) > а²/(a ‑ e)2

и d(a ‑ е)² > a² (d ‑ е), откуда da² ‑ 2dae + de² > da² ‑ a²e.

Затем приравниваются оба члена неравенства: da²‑ 2dae + de²≡ da²‑a²e, и после сокращения и перестановки членов: de² + a²e ≡ 2dae. При делении на е: de + a^{2 ≡} 2da. Наконец, Ферма игнорировал член, содержащий е: а² = 2da, из чего а = 2d. Таким образом можно найти точку Е, определив подкасательную к параболе (СE).