Тема лекции: Формула полной вероятности

 

Пусть событие А происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н₁, Н₂,… Н_n, которые образуют полную группу событий. Тогда справедлива формула полной вероятности события А:     

,

где Р(Н_к) – вероятность гипотезы Н_к, Р(А½Н_к) – условная вероятность А, т.е. вероятность появления события А при условии, что произошла гипотеза Н_к.

Пример. Три автомата изготовляют одинаковые детали.

Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции, второй – 25% и третий – 45%. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, на первом автомате равна 0,99, на втором – 0,988 и на третьем – 0,988. все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Решение: Пусть событие А – взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы:

Н₁- взятая деталь изготовлена первым автоматом;

Н₂- взятая деталь изготовлена вторым автоматом;

Н₃- взятая деталь изготовлена третьим автоматом.

Вычислим вероятность гипотез.

Вычислим условные вероятности:

Р(А½Н₁) – вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту, если она изготовлена первым автоматом.

Вероятность события А подсчитываем по формуле полной вероятности:

Р(А)=0,3 ^.0,01+0,25 ^.0,012+0,45 ^.0,012=0,009.

Задачи на закрепление материала

Задачи с решениями.

Пример 1. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

Решение: Пусть событие Н ₁ состоит в том, что из первой урны во вторую перекатились два белых шара, событие Н ₂ состоит в том, что перекатились два чёрных шара, а событие Н ₃ состоит в том, что перекатились шары разного цвета. Можно вычислить вероятности Р (Н ₁) = = 7/15, Р (Н ₂) = = 1/15, Р (Н ₃) = = 7/15 (при решении задачи полезно проверить выполнение необходимого условия ).

Если реализовалась гипотеза Н ₁, то во второй урне оказалось 10 белых и 2 черных шара. Обозначим через А событие, заключающееся в том, что из второй урны выкатился белый шар. Тогда Р (А/Н ₁) = = 5/33. Если реализовалась гипотеза Н ₂, то во второй урне оказалось 8 белых и 4 чёрных шара, и Р (А/Н ₂) = = 4/33. Легко показать, что Р (А/Н ₃) = = 3/22. Теперь можно воспользоваться формулой полной вероятности:

             Р (А) = (5/33)×(7/15) + (4/33) (1/15) + (3/22) (7/15) = 47/330

Пример 2. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры выбираются 2 мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Найти вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами.

Решение Обозначим через А событие, заключающееся в том, что вторая игра будет проводиться новыми мячами. Пусть гипотеза Н ₁  состоит в том, что для первой игры были выбраны два новых мяча, гипотеза Н ₂  состоит в том, что для первой игры были выбраны новый и играный мячи, гипотеза Н ₃  состоит в том, что для первой игры были выбраны два играных мяча. Определим вероятности гипотез:

  Р (Н ₁) = ; Р (Н ₂) = ; Р (Н ₃) = .

Теперь вычислим условные вероятности события А.

Р (А/Н ₁) = ; Р (А/Н ₂) = ; Р (А/Н ₃) = .

Осталось подставить результаты вычислений в формулу полной вероятности

         Р (А) = .

Пример 3. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?

Решение   Событие A – установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока – может произойти, если произойдет одно из несовместных событий: – установленный на машине двигатель изготовлен на первом, втором или третьем заводе соответственно. Эти события образуют полную группу, их вероятности:

, , ,

(Контроль: ).

По условию , , .

По формуле полной вероятности

.

 

Решить задачи:

1. В партии саженцев имеются в одинаковых количествах березы, клены, липы. Вероятность того, что посаженное дерево приживется, равна для березы 0,7, для клена – 0,8, для липы – 0,9. Найти вероятность того, что наудачу взятое прижившееся дерево окажется березой.

2. Половина всех арбузов поступает в магазин с 1-й базы, 1/3 – со 2-й базы, остальные – с 3-ей базы. Арбузы с повышенным содержанием нитратов составляют на 1-й базе 15 %, на 2-й базе – 10 %, на 3-ей – 20 %. Какова вероятность купить недоброкачественный арбуз?

3. Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике лежат 2 белых и 2 черных шара, во втором – ящике – 3 черных, в третьем – 1 черный и 5 белых. Некто, случайным образом выбирая ящик, наугад вынимает из него шар. Какова вероятность того, что шар будет белый?

4. В лаборатории имеется 12 автоматических машин и 8 полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения некоторого задания автомат не выйдет из строя, равна 0,94. Для полуавтоматов эта вероятность равна 0,85. Студент выполняет задание на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что до конца выполнения задания машина не выйдет из строя.

 

Тема лекции: Формула Байеса

Пусть вероятности гипотез до опыта были Р(Н₁), Р(Н₂),… Р(Н_n). В результате опыта появилось событие А. Тогда условная вероятность Р(Н_к½А) гипотезы Н_к с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса:

.

Пример. На двух станках производят одинаковые детали, которые поступают на конвейер. Производительность первого станка в три раза больше производительности второго. Первый станок дает в среднем 80% деталей отличного качества, а второй –90%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

Решение Пусть событие А - взятая наудачу с конвейера деталь отличного качества.

Гипотезы:

Н₁- деталь изготовлена на первом станке;

Н₂- деталь изготовлена на втором станке.

Вероятность гипотез до появления события А:

Р(Н₁)=3/4; Р(Н₂)=1/4.

Условные вероятности

Вероятности того, что взятая наудачу с конвейера деталь окажется отличного качества, т.е. вероятность события А, вычисляется по формуле полной вероятности:

Искомая вероятность того, что взятая деталь отличного качества изготовлена на втором станке, вычисляется по формуле Байеса: