Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2020-10-20 | 118 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Полугруппа В называется циклической (моногенной), если в ней содержится такой элемент а, что всякий элемент х из В может быть записан в форме для некоторого n >0. Элемент а называется образующим (порождающим) циклической полугруппы. Важнейшим примером циклической полугруппы является полугруппа Р положительных целых чисел относительно сложения. Её образующим служит 1. Зафиксируем положительные числа n и d и рассмотрим разбиение множества Р, состоящее из одноэлементных классов [1]={1}, [2]={2},…,[d-1]={d-1} и бесконечных классов
[d]={d, d+n, d+2n, …, d+kn,…},
[d+1]={d+1, d+1+n, d+1+2n,…, d+1+kn,…},
[d+(n-1)]={d+(n-1), d+(n-1)+n, d+(n-1)+2n,…,d+(n-1)+kn,…}.
Убедимся, что это разбиение допустимо. В самом деле, пусть х, u [ I ], y,v [ j ], где 1 I, j< d+n. Возможны следующие четыре случая: 1) I, j <d; 2) I< d, j d; 3) I d, j< d; 4) I, j d. В первом случае имеем: x=u=I и y=v=j, откуда [x+y]=[u+v], поскольку x+y=u+v. Во втором случае x=u=I, y=j+kn и v=j+Ln для подходящих k,L. Используя деление с остатком запишем
I + j - d=sn + r,
где 0 r< n. Тогда
x + y = I + j + kn = d + (I + j – d) + kn = d + r + (s + k) n
и u + v = I + j + Ln = d + (I + j – d) + Ln = d + r + (s + L) n,
откуда [x + y] = [d + r] = [u + v]. Третий случай рассматривается аналогично. В четвертом случае, используя определение смежных классов, можно записать
x =I + kn = d + (I – d) + kn,
u = I + Ln = d + (I – d) + Ln,
y = j + pn = d + (j – d) + pn,
v = j + qn = d + (j – d) + qn.
Тогда
x + y = d + (d + (I – d) + (j – d)) + (k + p) n
и
u + v = d + (d +(I – d) + (j – d)) + (L + q) n.
Разделив с остатком, получим
d + (I – d) + (j – d) = sn + r,
где 0 r< n. Отсюда
x + y = d + r + (k + p + s) n
|
и
u + v = d + r + (L + q + s) n,
т.е. [x + y] = [d + r] = [u + v].
Факторполугруппу полугруппы Р по рассмотренному разбиению называют циклом с хвостом.
При d = 1 хвост оказывается пустым. Такую полугруппу называют циклом.
Теорема.
Всякая циклическая полугруппа изоморфна или аддитивной полугруппе Р положительных чисел, или некоторому циклу с хвостом (возможно пустым).
Доказательство. Пусть В – циклическая полугруппа с образующим а. Рассмотрим отображение полугруппы Р в полугруппу В, определяемое условием .
Ввиду циклической полугруппы В, оказывается наложением. В силу теоремы: “ для всех m, n > 0.”
,
т.е. является гомоморфизмом. Из следующей теоремы:
Если - гомоморфное наложение полугрупп и - естественный гомоморфизм, то существует изоморфизм такой, что , вытекает, что В изоморфна факторполугруппе Р/ , где = . Если все классы разбиения одноэлементны, то В изоморфна Р. В противном случае обозначим через d наименьшее целое число, входящее в неодноэлементный класс, а число n выберем так, чтобы d + n было наименьшим числом, отличным от d, но входящим в один класс с d. Тогда имеем классы [1], [2],…, [d – 1], [d], [d + 1],…, [d + n – 1], среди которых первые d – 1 одноэлементные и [d] [d + I] при I= 1,2,…, n – 1. Докажем, что
[d + I] = [d + I + kn] (*)
при любых I и k. В силу определения разбиения , для этого достаточно установить, что
. (**)
При k = 0 это очевидно. Допустим, что (**) доказано при всех I и
k = 0,1,…, t – 1. Тогда, вспоминая, что , получаем
Тем самым равенство (**), а значит (*), доказано. Остаётся убедится, что разбиение совпадает с разбиением (d +n). С этой целью заметим, что одноэлементные классы этих разбиений совпадают. Ввиду равенства (*), для доказательства совпадения бесконечных классов достаточно установить, что смежные классы [d + I] и [d + j] разбиения , где , различны. Но если [d + I] = = [d + j], то
|
[d] = [d + n] = [d + j] + [n – j] = [d + I] + [n – j] = [d + (n – (j – I))]
и, поскольку 0< n – (j – I)<n, мы вступаем в противоречие с выбором числа n. Ч.т.д.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!