Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2020-10-20 | 99 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Проверка гипотезы о значении генеральной средней при известной генеральной дисперсии
Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой имеют нормальный закон распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , взята случайная выборка объемом n и пусть — выборочная средняя арифметическая, и — определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы : альтернативной гипотезе : используют статистику (2.27):
,
которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение .
Согласно требованию (2.45) при выбирают правостороннюю критическую область, при — левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе : выбирают двустороннюю критическую область.
Границы критической области () находят по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий:
· в случае правосторонней и левосторонней критических областей
, (2.46)
где Ф(t) – интегральная функция Лапласа (табл. 1 Приложений);
· при двусторонней критической области
. (2.47)
Тогда проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.
Для вычисления мощности критерия при : или : можно воспользоваться формулой:
, (2.48)
где
Пример 10.1. По результатам анализа темпов роста производительности 10 предприятий отрасли, было установлено, что средний темп роста составляет . Предполагая, что темп роста есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с :
|
а) проверить на уровне значимости гипотезу : против альтернативной гипотезы : .
б) вычислить мощность критерия;
в) проверить на уровне значимости гипотезу : против альтернативной гипотезы :
Решение.
А. В основе проверки гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное нормальное распределение. Наблюдаемое значение статистики равно:
.
Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в правостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .
По таблице функции Лапласа (табл. 1 Приложений):
Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то можно сделать вывод, что на уровне значимости гипотеза : не отвергается (не противоречит опытным данным).
Б. Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной средней при известной дисперсии определяется по формуле (2.48):
, где
Воспользовавшись расчетами пункта а) получим:
Наблюдаемое значение статистики равно:
Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в двустороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .
По таблице функции Лапласа:
Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то гипотеза : отвергается с вероятностью ошибки .
Проверка гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии
Пусть и — среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной генеральной совокупности X с неизвестными параметрами и . Тогда для проверки нулевой гипотезы : при альтернативной гипотезе : используют статистику (2.27): , которая при выполнении гипотезы имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы.
|
Согласно (2.42) при выбирают правостороннюю критическую область, при — левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе : — двустороннюю критическую область.
Границы критической области определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы n-1.
Границы критической области находят по таблице функция t-распределения ( (v — число степеней свободы)) из условий:
• в случае односторонней критической области используется условие:
, (2.49)
• в случае двусторонней критической области:
. (2.50)
Проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.
Мощность критерия в случае односторонней критической области определить по формуле:
, (2.51)
где – определяется по таблице t-распределения Стьюдента (табл. 2 Приложений) для вероятности и числа степеней свободы v=n-1.
Пример 10.2. По данным примера 2.14 и в предположении, что истинное значение дисперсии темпов роста производительности неизвестно, а по выборке получено S=0,4, проверить на уровне значимости гипотезу : против альтернативной гипотезы : и вычислить мощность критерия.
Решение.
В основе проверки гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной дисперсии лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с n-1 степенями свободы.
Наблюдаемое значение статистики равно:
Так как альтернативная гипотеза : , то гипотеза отклоняется в пользу гипотезы при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: .
По таблицам t-распределения:
Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия по модулю не превосходит критического , то можно сделать вывод, что на уровне значимости гипотеза : не противоречит опытным данным. Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной средней при неизвестной дисперсии определяется по формуле (2.51):
Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при известных генеральных дисперсиях
|
Пусть X и Y — нормальные генеральные совокупности с известными дисперсиями и неизвестными математическими ожиданиями .
Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом . Пусть — средние арифметические выборочных совокупностей.
Для проверки гипотезы о равенстве генеральных средних : можно использовать статистику:
,
которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения.
Выбор критической области зависит от конкурирующей гипотезы . Согласно (2.45) при : выбирают правостороннюю, при : левостороннюю, а при : — двустороннюю критические области.
Границы критической области при заданном а находят по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условия (2.46) для правосторонней и левосторонней критических областей и (2.47) — для двусторонней области.
Проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.
Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при неизвестны генеральных дисперсиях
Пусть X и У нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями и математическими ожиданиями . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки с параметрами . На уровне значимости требуется проверить нулевую гипотезу : .
В основу критерия для проверки нулевой гипотезы положена статистика (2.31):
,
которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
При заданном уровне значимости выбор критический области зависит от конкурирующей гипотезы: при : выбирают правостороннюю, при : левостороннюю, а при : – двустороннюю критические области.
Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если , где (для правосторонней и левосторонней критических областей) или (для двусторонней критической области) то гипотезу отвергают, если же , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!