Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2020-08-20 | 71 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Прямая и плоскость в пространстве
Векторное уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая задана ее точкой и направляющим вектором . Возьмем на прямой произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек и соответственно через и . Очевидно, что три вектора , и связаны соотношением
. (10)
Вектор , лежащий на прямой , параллелен направляющему вектору , поэтому , где скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки на прямой.
Уравнение (10) можно записать в виде
. (11)
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой
Замечая, что , , , уравнение (11) можно записать в виде
.
Отсюда следуют равенства:
(12)
Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой
Пусть направляющий вектор прямой и точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку с произвольной точкой прямой , параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны:
. (13)
Уравнения (13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Замечания: 1) Уравнения (13) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (12), исключив параметр . Из уравнений (12) находим
|
.
2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.
Например, уравнения задают прямую, проходящую через точку перпендикулярно оси (проекция вектора на ось равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости , и поэтому для всех точек прямой будет .
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки и . В качестве направляющего вектора можно взять вектор . Следовательно, , , . Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно уравнениям (13), уравнения прямой имеют вид
. (14)
Уравнения (14) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.
Общее уравнение прямой
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
(15)
Каждое уравнение этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов и не пропорциональны), то система (15) определяет прямую как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы. Уравнения (15) называют общими уравнениями прямой.
От общих уравнений (15) можно прейти к каноническим уравнениям (13). Координаты точки на прямой получаем из системы уравнений (15), придав одной из координат произвольное значение (например, ).
Так как прямая перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение :
Замечание: Каноническое уравнения прямой легко получить, взяв две какие-либо точки на ней и применив уравнения (14).
Пример.. Написать канонические уравнения прямой , заданной уравнениями
|
Решение: Положим и решим систему Находим точку . Положим и решим систему Находим вторую точку прямой . Записываем уравнение прямой , проходящей через точки и :
.
Прямая и плоскость в пространстве
Векторное уравнение прямой
Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая задана ее точкой и направляющим вектором . Возьмем на прямой произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек и соответственно через и . Очевидно, что три вектора , и связаны соотношением
. (10)
Вектор , лежащий на прямой , параллелен направляющему вектору , поэтому , где скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки на прямой.
Уравнение (10) можно записать в виде
. (11)
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!