Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2020-07-07 | 192 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1. Пусть d – натуральный делитель числа q -1. Тогда число элементов b Î Fq порядка d равно j(d).
Доказательство. Обозначим через y(d) число элементов в поле Fq, имеющих порядокd. По теореме 1 параграфа 7 d делит q – 1. Так как каждый элемент b Î Fq имеет некоторый порядок, то имеем равенство
. (1)
По теореме 2 параграфа 7 для любого числа d Î N либо y(d) = 0 либо y(d) = j(d). Поэтому в общем случае имеет место неравенство
y(d) £ j(d). (2)
По свойству функции Эйлера
. (3)
Вычитая равенства (3) и (1) почленно получим
.
В силу (2) отсюда получаем, что для всех d | (q – 1) имеет место равенство
y(d) = j(d).ÿ
Так как (q – 1) | (q – 1), то из теоремы 1 получаем следствие.
Следствие. Тогда число элементов a Î Fq порядка q – 1 равно j(q – 1). ÿ
Теорема 2. Мультипликативная группа Fq * ненулевых элементов конечного поля Fq циклична, т.е существует такой элемент a Î Fq, что
Fq *= á a ñ = {1, a, a 2, …, a q -1}. (4)
Доказательство. По следствию теоремы в группе Fq * существует хотя бы один элемент a элемент порядка q – 1, так как таких элементов имеется j(q – 1)>0. Тогда по теореме 2 параграфа 7 элементы множества (4) различны и группа Fq * , состоящая из q – 1 элементов, исчерпывается этими элементами.ÿ
Пример 1. Каких порядков в поле F 27 существуют элементы и сколько?
По теореме 1 в поле F 27 существуют элементы порядка d | (27 – 1), т.е. d |26 и таких элементов порядков j(d). Таким образом, в поле F 27 существуют элементы порядков 1, 2, 13, 26 соответственно в количестве j(1) = 1, j(2) = 1, j(13) = 12, j(26) = 12.
|
Функция Мебиуса и формула обращения Мебиуса
Определение 1. Функцией Мебиуса называется функция m: N ® {-1, 0, 1}, определенная равенством:
Теорема 1. Пусть m, n – натуральные числа. Тогда справедливы свойства:
10 если числа m, n – взаимно простые, то m(m × n) = m(m) m(n);
20 (1)
Доказательство. 10. Если m =1или n = 1, например, m =1, то
m(m × n) = m(1× n) = m(n) = 1×m(n) = m(m) m(n).
Если m или n делится на квадрат простого числа, например, m делится на квадрат простого числа, то m × n делится на квадрат простого числа и
m(m × n) = 0 = 0×m(n) = m(m) m(n).
Пусть теперь m и n произведения различных простых чисел:
m = p 1… pk, n = q 1… ql, (2)
Так как числа m и n взаимно простые, то простые числа, входящие в разложения (2) различные и
m(m × n) = (-1) k + l = (-1) k (-1) l = m(m) m(n).
20 Для n =1 равенство (1) верно, так как в левой части формулы (1) стоит одно слагаемое, которое равно 1. Докажем формулу (1) при n >1. Пусть - каноническое разложение числа n, тогда все делители m числа n имеют вид:
.
Тогда выводим
ÿ
Теорема 2 (теорема обращения Мебиуса). Пусть f и g – функции натурального аргумента. Тогда равенство
(3)
верно тогда и только тогда, когда
. (4)
Доказательство. Необходимость. Подстановкой (3) в левую часть равенства (4) докажем равенство (4).
так как внутренняя сумма в последнем равенстве, по формуле (1) равна нулю везде, где n / k > 1 и равна 1, если n / k = 1.
Достаточность. Подстановкой (4) в левую часть равенства (3) докажем равенство (3).
так как по формуле (1) внутренняя сумма в последнем равенстве, равна нулю везде, где n / z > 1 и равна 1, если n / z = 1.ÿ
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!