Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Операции над матрицами

§ Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

§ Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

§ Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

§ Свойства сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций, повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

 

§ Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

§ Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

 

§ Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число,комплексно сопряжённое к a.

§ Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

 

3) Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Свойства определителей

§ Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

§ При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

§ Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

§ Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

§ Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

§ Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

§ Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

 

4) Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

при и .

Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

§ заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,

§ транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,

§ разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.

5) Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Свойства обратной матрицы

§ , где обозначает определитель.

§ для любых двух обратимых матриц A и B.

§ где * ^T обозначает транспонированную матрицу.

§ для любого коэффициента .

§ Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A ^{− 1} существует, то x = A ^{− 1} b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

 

6) Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

7) Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

8) Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица

 

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: .
Пусть есть число λ, тогда произведением вектора на число λ будет называться следующий вектор:
Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

 

10) Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Свойства скалярного произведения:

Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A, B)называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде:

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

§ вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

§ пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

§ вырожденная парабола — при условии D = 0:

§ пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

§ одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

§ пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

 

14) Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .

Примеры

§ Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.

§ Пространство всех функций с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X.

§ поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

§ Любое поле является одномерным пространством над собой

 

Вектор в линейной алгебре — элемент векторного пространства (частный случай тензора).

 

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ — вектор, представленный в виде x = α _i a _i +... + α _n a _n, где коэффициенты α _i — произвольные числа; a _i — рассматриваемые векторы (i = 1,..., n). Если сумма коэффициентов равна единице и 0 < α _i < 1, имеем выпуклую Л. к. в.

15) В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множествоназывается линейно независимым.

Свойства

§ линейно зависимо

§ M линейно независимо M ' линейно независимо для всех

§ M линейно зависимо M ' линейно зависимо для всех

 

16) Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виделинейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Примеры

§ Векторы пространства образуют базис тогда и только тогда, когда определитель матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, не равен 0: .

§ В пространстве всех многочленов над полем один из базисов составляют степенные функции: .

§ Понятие базиса используется в бесконечномерном случае, например вещественные числа образуют линейное пространство над рациональными числами и оно имеет континуальный базис Гамеля и, соответственно, континуальную размерность.

§

РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [dimensionality of vector-space] — максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве (см. Линейная зависимость векторов). Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным. Пример конечномерного векторного пространства — множество возможных планов цеха из ст. “ Вектор ”. Размерность этого пространства равна 4. Точки на прямой действительных чисел образуют одномерное пространство.

 

17) Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается

Свойства

§ Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.

§

18) Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim (im (A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов размера называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

§ — решения системы (1);

§ линейно независимы;

§

 

20) Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Примеры линейных однородных операторов:

§ оператор дифференцирования: ;

§ оператор интегрирования: ;

§ оператор умножения на определённую функцию φ(t): y (t) = φ(t) x (t);

§ оператор интегрирования с заданным «весом»

§ оператор взятия значения функции f в конкретной точке x ₀: L { f } = f (x ₀)^[4];

§ оператор умножения вектора на матрицу: b = Ax;

§ оператор поворота вектора.

Примеры линейных неоднородных операторов:

§ Любое аффинное преобразование;

§ ;

§ ;

§ y (t) = φ₁(t) x (t) + φ₂(t);

где φ(t), φ₁(t), φ₂(t) — вполне определённые функции, а x (t) — преобразуемая оператором функция.

21) Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λ x имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λ x, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

22) Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли.

Непосредственная проверка оправдывает это утверждение для матрицы порядка 2:

Характеристический многочлен

тогда

c (A) = A ² − (a ₁₁ + a ₂₂) A + (a ₁₁ a ₂₂ − a ₁₂ a ₂₁) E =

§ Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена.

§ Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен.

23) ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).

Пусть имеется n стран S₁, S₂,..., S_n, национальный доход каждой из которых равен соответственно x₁, x₂,..., x_n. Обозначимкоэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран, т.е.

a_1j + a_2j +... + a_nj = 1 (j = 1,2,...,n).

Рассмотрим матрицу

		||	a11	a12	...	a1n	||
		||	a21	a22	...	a2n	||
A	=	||	...	...	...	...	||	,
		||	an1	an2	...	ann	||

которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с предыдущим равенством сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны S_i (i = 1,2,...,n) выручка от внутренней и внешней торговли составит:

p_i = a_i1 x₁ + a_i2 x₂ +... + a_in x_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность торговли каждой страны S_i, т.е. выручка от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода:

p_i > = x_i (i = 1,2,...,n).

24) Скалярным произведением в векторном пространстве над полем называется функция для элементов , принимающая значения в , определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);

2. для любых и справедливо равенство , где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);

3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Заметим, что из п.2 определения следует, что действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

Примеры

§ В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства).

§ В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать^[1] ортонормированный базис

при разложении векторов по которому:

,

итд,

скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:

.

25) Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

Очевидно, из определения скалярного произведения:

.

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

.

Для любых векторов выполняется равенство .

1. Для любого вектора выполняется соотношение .

Действительно, так как , то .

Из этого свойства в частности следует .

2. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

26) Ортонормированная система

Для любых элементов этой системы φ _i,φ _j скалярное произведение (φ _i,φ _j) = δ _ij, где δ _ij — символ Кронекера.

Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V.

Наиболее известным является процесс Грама ― Шмидта, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор b_i линейно выражается через , то есть матрица перехода от { a_i } к { b_i } ― верхнетреугольная матрица.

27) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в .

Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

где , а — некоторые элементы поля .

Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов a_ii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

, где

, а через обозначены все остальные слагаемые.

представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных .

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

 

 

 

 

 

Операции над матрицами

§ Умножение матрицы на число

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λ A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

§ Свойства умножения матриц на число

1. 1*A = A;

2. (Λβ)A = Λ(βA)

3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

§ Сложение матриц

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен

§ Свойства сложения матриц

5.коммутативность;

6.ассоциативность;

7.сложение с нулевой матрицей;

8.существование противоположной матрицы;

Все свойства линейных операций, повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:

Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.

 

§ Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .

§ Свойства умножения матриц

1.ассоциативность;

2.произведение не коммутативно;

3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;

4.справедливость дистрибутивного закона;

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

 

§ Комплексное сопряжение

Если элементами матрицы A = (a_ij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число,комплексно сопряжённое к a.

§ Транспонирование и эрмитово сопряжение

Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (a_ij), то A^T = (a_ji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.

 

3) Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Свойства определителей

§ Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.

§ При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.

§ Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

§ Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

§ Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

§ Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

§ Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

 

4) Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

,

где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся <