Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2020-06-05 | 454 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Двойные интегралы
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в прямоугольной области задана непрерывная функция .Разобьем область прямоугольной сеткой
на «элементарные области» ( = ), площади которых равны . Диаметром элементарной области будем называть диагональ прямоугольника . В каждой такой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:
. (1)
Эта сумма называется интегральной суммой функции .Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . В этом случае функция называется интегрируемой в области ; – область интегрирования; и – переменные интегрирования.
Таким образом, двойной интегралопределяется равенством
(2)
Здесь площадь элементарной области.
Перейдем от прямоугольной области к произвольной. Пусть – замкнутая ограниченная область. Как и в рассмотренном выше случае, покроем эту область прямоугольной сеткой и построим интегральную сумму . Суммирование ведется по тем прямоугольникам, которые лежат внутри области и не имеют общих точек с границей. Если предположить, что граница области − спрямляемая кривая, то предельный переход при приведет к той же формуле (2).
Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает теорема.
|
Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Пусть тело ограничено сверху поверхностью 0, снизу — замкнутой областью плоскости , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области . Такое тело называется цилиндрическим ( -цилиндрическим). Найдем его объем . Для этого разобьем область (проекция поверхности на плоскость ) произвольным образом на областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . В своей совокупности они составляют все тело. Обозначим объем столбика с основанием через , тогда
Возьмем на каждой площадке произвольную точку . Заменим каждый столбик цилиндром с тем же основанием (площадь которого равна ), а в качествевысоты возьмем значение функции в точке , то есть . Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. Тогда:
.
Это равенство тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел этой суммы при условии, что число площадок неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку ( 0), за объем цилиндрического тела, то есть
или
Итак, двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
Двойные интегралы
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в прямоугольной области задана непрерывная функция .Разобьем область прямоугольной сеткой
|
на «элементарные области» ( = ), площади которых равны . Диаметром элементарной области будем называть диагональ прямоугольника . В каждой такой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:
. (1)
Эта сумма называется интегральной суммой функции .Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается . В этом случае функция называется интегрируемой в области ; – область интегрирования; и – переменные интегрирования.
Таким образом, двойной интегралопределяется равенством
(2)
Здесь площадь элементарной области.
Перейдем от прямоугольной области к произвольной. Пусть – замкнутая ограниченная область. Как и в рассмотренном выше случае, покроем эту область прямоугольной сеткой и построим интегральную сумму . Суммирование ведется по тем прямоугольникам, которые лежат внутри области и не имеют общих точек с границей. Если предположить, что граница области − спрямляемая кривая, то предельный переход при приведет к той же формуле (2).
Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает теорема.
Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Пусть тело ограничено сверху поверхностью 0, снизу — замкнутой областью плоскости , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области . Такое тело называется цилиндрическим ( -цилиндрическим). Найдем его объем . Для этого разобьем область (проекция поверхности на плоскость ) произвольным образом на областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . В своей совокупности они составляют все тело. Обозначим объем столбика с основанием через , тогда
|
Возьмем на каждой площадке произвольную точку . Заменим каждый столбик цилиндром с тем же основанием (площадь которого равна ), а в качествевысоты возьмем значение функции в точке , то есть . Объем этого цилиндра приближенно равен объему цилиндрического столбика, т. е. Тогда:
.
Это равенство тем точнее, чем больше число и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел этой суммы при условии, что число площадок неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку ( 0), за объем цилиндрического тела, то есть
или
Итак, двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!