Разложение на простые множители

ПРИЗНАКИ  ДЕЛИМОСТИ

Признак делимости на	Число делится «на», если	Делятся	Не делятся
2	оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)	148; 10006; 74; 270	43; 1225; 1007
10	оно оканчивается нулём	20; 69800; 430	255; 6631; 14; 87
5	оно оканчивается 0 или 5	2205; 980; 70; 9875	2201; 987; 74; 552
3	сумма цифр числа делится на 3	411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000	751; 33800; 80821
9	сумма цифр числа делится на 9	1260; 6039; 70704	111115; 120; 30305

 

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

75 = 5∙5∙3

1)  28 = 2∙2∙7;    2) 363 = 3∙11∙11;   3) 264 = 2∙2∙2∙3∙11

Ход работы в примере 3):                                                    264   2

264: 2 = 132                                                                                   132 2

13 2: 2 = 66                                                                                      66 2

66: 2 = 33                                                                                          33  3

33: 3 = 11                                                                                         11 11

11: 1 1= 1 делители – только простые числа                                                                                         

НОК и НОД                                                                      (наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель)

НОД (63и98) = 7                           НОД(120и45) = 5∙3=15

63 3      98 2                                               120 5      45 5

21 3      49 7                                                24  2       9    3

7 7           7 7                                                     12 2       3 3

63=3∙3∙7    98=2∙7∙7                                              6 2       120=5∙2∙2∙2∙3; 45= 5∙3∙3  

                                                                                  3    3    

НОК(15и20) = (5∙3)∙ 2 ∙ 2 =60                                   НОК(12и40) = (2∙3∙2)∙ 5 ∙ 2 =120

15 5       20 2 нет в разложе -                              12 2             40 2 нет в раз-

3 3            10 2 нии 15                                                6  2              - 5 ложении12

                  5 5                                                                    3  3              4 2

                                                                                                                               2 2

СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

     Чтобы сократить дробь, нужно и числитель и знаменатель разделить на одно и то же число.

(сократили на 5)

 = (сократили на 2)

 =      (сокр. на 10) = (сокр. на 2)

 ,  , ─ несократимые дроби

ПРИВЕДЕНИЕ ДРОБЕЙ К ОБЩЕМУ ЗНАМЕНАТЕЛЮ

    Любые две дроби можно привести к общему (одинаковому) знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).       НОЗ = НОК знаменателей  

3

2

Привести к общему знаменателю дроби:

1)  и  ;    а) НОК(9и 6)=18; б) 18:9=2, 18:6=3 (2 и 3 – дополнитель ные  мно –

                                                                                                            жители)

                в) умножаем на дополнительные множители и числители и         

                    знаменатели данных дробей.

Ответ:  и →  и

5

4

2)    и  ;  а) НОК(12 и 15)=60; б)60:12=5, 60:15=4 (5 и 4 – дополн. множ.)

                в) см.пример 1.

Ответ:  и →  и

СРАВНЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Чтобы сравнить, сложить или вычесть обыкновенные дроби, надо:

· привести дроби к общему знаменателю;

· сравнить, сложить или вычесть числители новых дробей, оставляя их знаменатели без изменения.

9

7

1.  Сравнить:    и  ; а) НОЗ (9и7)=63; б)  = ;  = ; в)  › →    ›

3

3

2

2.

3

2

Вычислить:  + (НОЗ(10и15) = 30 ← в уме) =  + =                               

Вычислить:  – (НОЗ (12и8) = 24 ← в уме) =  –  =

3

2

                               ЗАПИСЬ:      + = = =               

 

 

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ЧИСЕЛ

3

2

3

Для сложения и вычитания смешанных чисел нужно отдельно сложить целые и дробные части компонентов.

1.     +  =  =  =  ← в ответе дробь должна быть правильной

7

3

2.     –1  =  = 4  = 4  ← в ответе дробь должна быть несокра-

                                                                                                                                 тимой

2

3

БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ

3.    3  –  =  ←? (9  11): занимаем у 2 целых 1 и дробим её на  , которые добавляем к дробной части, имеем:    =  =  

1 =  =  = …… =  = …… =  = …… =  = ….                                                     

УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

· Для умножения обыкновенных дробей нужно перемножить их числители и их знаменатели.

· Если возможно сокращение – его надо выполнить, это облегчит вычисления.

· При умножении смешанных и целых чисел их заменяют неправильными дробями.

1.       ∙  =  =

2.     2  ∙  =  =  =  = 1

3.      7 ∙  =  ∙  =  = 4

ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Деление обыкновенных дробей можно заменить умножением на «перевёрнутую» дробь.

Шаги деления обыкновенных дробей:

1.   преобразовать пример:  : (все компоненты – дроби)

2.   заменить: : = ∙

Выполнить умножение

1) :  =   ∙ = = = 1 ;

2) : 6  = : = ∙  = =

НАХОЖДЕНИЕ ДРОБИ ОТ ЧИСЛА

всё целое (знаем)

дробь (?)

Задача. В книге 140 страниц. Андрей прочитал 0,3 этой книги. Сколько страниц прочитал Андрей?

Решение

0,3 от 140 стр.; 140 ∙ 0,3 = 42 (стр.)

Ответ: Андрей прочитал 42 страницы.

НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЕГО ДРОБИ

всё целое (?)

дробь (знаем)

Задача. Девочка прошла на лыжах 300 метров, что составляет дистанции. Какова длина дистанции?

Решение

300 м сост.  дистанции;  300:  =  ∙  =  = 800 (м)

Ответ: длина дистанции 800 метров.

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ

1) 2: 48; 36: 1,8; х: 15 - отношения.

2) Пропорция – равенство двух отношений.

3) 12: 6 = 100: 50 12 и 50 – крайние члены

                            6 и 100 – средние члены

 =

4) Основное свойство пропорции: е сли пропорция верна, то произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции:   12: 6 = 100: 50;   → 12 ∙ 50 = 6 ∙ 100 = 600;

5) Решение уравнений

             =                                                                                                             10: Х = 2,5: 5

          0,4 ∙х = 2∙ 5                                                                                                     2,5Х = 10 ∙ 5

0,4х = 10; х = 10: 0,4 = 100:4=25; Х = 25              2,5Х = 50; Х = 50: 2,5 = 500: 25; Х = 20

Решение

1. r = 2 ∙ 3,14 ∙5 = 6,28 ∙ 5 = 31,4(см)

2.   = 3,14 ∙  = 3,14 ∙ 25 = 78,5( )

Окружность – линия,  Круг – часть плоскости

КРУГ

СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

0

1

-5

-1

1. Из двух чисел всегда больше то, которое расположено на числовой прямой правее:

21 › -40; 18 › 11; -2 › -2339.

2.   Любое положительное число всегда больше

отрицательного: 0,12 › -743; 1 › -5

3. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное меньше нуля: 25 › 0; 0 ‹ 987; 0 › -45; -2,47 ‹ 0

4.   Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше:

-287 ‹ -5; -18 › -35; -100 ‹ -1

РАСКРЫТИЕ СКОБОК

«+» оставляй знак!

     Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки, оставив все слагаемые в скобках со своими знаками (если перед первым слагаемым в скобке знака нет, то подразумевается «+»).

·  (-21х + 47 – 5х) = -21х + 47 – 5х = -26х + 47;

·  11а + (5у + 5х – 5а) = 11а + 5у + 5х – 5а = 6а + 5х + 5у;

«-» меняй знак!

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

·  - (-21х + 47 – 5х) = 21х – 47 + 5х = 26х – 47;

· 11а – (5у + 5х – 5а) = 11а – 5у – 5х + 5а = 16а -5у – 5х.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

ПРИЗНАКИ  ДЕЛИМОСТИ

Признак делимости на	Число делится «на», если	Делятся	Не делятся
2	оно оканчивается чётной цифрой (0,2,4,6,8)	148; 10006; 74; 270	43; 1225; 1007
10	оно оканчивается нулём	20; 69800; 430	255; 6631; 14; 87
5	оно оканчивается 0 или 5	2205; 980; 70; 9875	2201; 987; 74; 552
3	сумма цифр числа делится на 3	411(4+1+1=6); 1002; 81; 111000	751; 33800; 80821
9	сумма цифр числа делится на 9	1260; 6039; 70704	111115; 120; 30305

 

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ