Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2020-04-01 | 136 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
65.1. Пусть случайная величина имеет плотность вероятности и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности случайной величины определяется соотношением:
, (65.1)
где - функция, обратная функции .
Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая или монотонно убывающая . Очевидны соотношения:
, (65.2)
. (65.3)
Пусть , - функции распределения вероятностей случайных величин и . Если , тогда используя (65.2),
. (65.4)
Продифференцируем по равенство (65.4), тогда
. (65.5)
Аналогично при справедливо равенство (65.3), поэтому
(65.6)
Отсюда:
. (65.7)
Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).
Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции . Примерами таких функций являются: 1). Линейная функция , где , - числа, при этом обратная функция имеет вид ; 2). Экспонента - , откуда обратная функция , , и другие. Однако условие взаимной однозначности функции может нарушаться, например, для функции обратная функция , - двузначная. При этом рассматриваются две функции и , , которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования . Более сложный пример: . Здесь обратная функция – многозначная.
65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования . Для этого на области определения функции выделим неперекрывающиеся интервалы , - целое, на которых , тогда на интервалах вида выполняется условие . Функция , для , монотонная возрастающая, а для - монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции . Пусть функция для имеет обратную функцию вида , , очевидно - монотонная возрастающая, поскольку обратная ей - монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через - функцию со значениями , обратную к на интервале . Очевидно - монотонная убывающая. Функция называется -я ветвь обратного преобразования функции . Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:
|
(65.8)
где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.
На рис. 65.1. представлен простой пример функции , у которой ветви обратного преобразования: со значениями , и - со значениями . На интервале функция - монотонно возрастающая, а на интервале функция - монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид:
.
Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.
Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:
. (65.9)
Дифференцируя по обе части (65.9), получим
(65.10)
или
, (65.11)
где суммирование по ведется по всем ветвям обратного преобразования.
65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины по формуле (65.11). Пусть - линейное преобразование случайной величины . Функция - взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Поскольку , то (65.11) принимает вид:
. (65.12)
Рассмотрим квадратичное преобразование . Обратное преобразование имеет две ветви и . Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя, для , получаем:
(65.13)
Пусть и случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей на интервале , с плотностью , если , и при . Обратное преобразование имеет две ветви: , а также . Вычисление производных и подстановка в (65.11) приводит к результату:
|
. (65.14)
На рис. 65.2. представлен график плотности косинус-преобразования
равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная
Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.
исходная величина и преобразованная величина могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.
Преобразование нескольких случайных величин
66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности преобразованной величины через плотность исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования случайных величин. Пусть случайные величины имеют совместную плотность , и заданы функций , переменных . Необходимо найти совместную плотность вероятности случайных величин:
(66.1)
Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений , , относительно переменных . При этом каждое зависит от . Совокупность таких функций , , образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть , , - - я ветвь обратного преобразования , тогда справедливо соотношение:
, (66.2)
где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,
(66.3)
- якобиан преобразования от случайных величин к случайным величинам .
Если из каждой совокупности случайных величин получается случайных величин , то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему до случайных величин, например, такими величинами . Если же , то случайных величин из совокупности функционально связаны с остальными величинами, поэтому - мерная плотность будет содержать дельта-функций.
Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин с совместной плотностью вероятности . Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области . Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.
|
66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин и с плотностью по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй (хотя можно взять и ). Таким образом, функциональное преобразование от , к , задается системой уравнений:
(66.4)
Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно , :
(66.5)
Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:
.
Теперь (66.2) для принимает вид:
. (66.6)
Функция - это совместная плотность вероятности случайных величин и . Отсюда плотность вероятности суммы находится из условия согласованности:
. (66.7)
Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:
. 66.8)
Задача сводится к преобразованию интеграла по области , определяемой условием . Этот интеграл можно представить в виде:
(66.9)
Отсюда плотность вероятности:
Отсюда плотность вероятности:
, (66.10)
что совпадает с формулой (66.7).
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!