Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2020-04-01 | 145 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением:
. (57.1)
Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких , , при которых , то есть при , или , . И наоборот, при , или , подынтегральная функция (57.1) отрицательна либо равна нулю. Знак ковариации зависит от того, какие значения, положительные или отрицательные преобладают в подынтегральной функции. Поэтому знак числа определяется расположением линий равного уровня плотности вероятности . На рис. 57.1 представлен пример линий равного уровня функции , для которой . Штриховкой
Рис. 57.1.
Линии равного уровня плотности вероятности при .указана часть плоскости, на которой , и следовательно неотрицательна подынтегральная функция. Поскольку в заштрихованной области (положительные значения подынтегральной функции) плотность имеет в среднем большее значение, чем в нештрихованной области (отрицательные значения подынтегральной функции), то ковариация . На рис. 57.2 представлены линии равного уровня плотности при . Случай соответствует симметричному расположению линий относительно прямой (или ). Например, эти линии могут быть эллипсами, у которых большая полуось совпадает по направлению с прямой (или ). Другой пример – линии являются окружностями с центром в точке .
Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности
вероятности при .
Отметим, что если , а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат , такое, что в новой системе ковариация . Это означает также и преобразование случайных величин , с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю.
|
Коэффициент корреляции
58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число
. (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией: двух безразмерных случайных величин
, , (58.2)
полученных из исходных величин и путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние , и единичные дисперсии , .
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию случайных величин и :
. (58.3)
Поскольку , то из (58.3) следует
. (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть - случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией и . Ковариация случайных величин и определяется формулой (56.5): . Подставим это соотношение в (58.3), тогда:
(58.4)
Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции принимает либо максимальное значение , либо минимальное - .
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины и на линейную случайную функцию следующего вида:
(58.5)
где и - независимые случайные величины. В частном случае - число и (58.5) – линейная функция, определяющая через . Для детерминированной линейной связи - принимает максимальное значение. Если - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к . В зависимости от свойств случайной величины статистическая связь между и может быть сильной, , или слабой, . Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами и (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
|
Пусть , , , . Тогда из (58.5) следует, в силу независимости и :
.
Выразим дисперсию случайные величины через параметры случайных величин , :
. (58.6)
Теперь по формуле (58.3):
. (58.7)
Если , то из (58.7) следует , что соответствует слабой связи между случайными величинами и . Если , из (58.7) следует , связь становится сильной и в пределе при переходит в детерминированную линейную связь.
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!